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ALGEBRA

LINEAL

Rocío Buitrago A

ALGEBRA

LINEAL

Álgebra Lineal

© Rocio Buitrago Alemán

© Editor: Universidad Militar Nueva Granada

Bogotá, D.C., Colombia.

Impresión:

ALVI IMPRESORES LTDA.

Tel.: 2501584

alvimpresores@yahoo.es

Diseño Portada:

Carlos Peña M.

Diseño y diagramación:

ALVI IMPRESORES LTDA.

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Coordinacion editorial: División de Publicaciones y Comunicaciones UMNG.

Impreso en Colombia

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por ningún medio, ya sea electrónico, químico, mecánico, óptico, de grabación o de fotocopia, sin permiso previo de la Universidad

Militar Nueva Granada o de los autores.

® 2009.

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA

Facultad de Ciencias Básicas

Departamento de Matemáticas

ÁLGEBRA LINEAL

Rocío Buitrago Alemán

Profesora de Matemáticas

Bogotá, D.C. 2009

INTRODUCCIÓN

“Que todo nuestro conocimiento empieza con la experiencia, es efectivamente cosa sobre la cual no hay duda

. . . pero aunque nuestro conocimiento empieza con la experiencia, no nace todo él de la experiencia.”

Enmanuel Kant.

Este texto ha sido elaborado teniendo en cuenta la presentación de elementos nuevos para

los estudiantes, con un primer acercamiento a la abstracción y formalización de conceptos

matemáticos.

Se desarrollan los contenidos básicos del curso de Álgebra Lineal, distribuidos en seis

unidades modulares que se encuentran completamente interrelacionadas, de las cuales,

las Matrices y los Vectores son los núcleos conceptuales.

El texto contiene suficientes ejemplos resueltos en forma detallada, haciendo énfasis

especialmente en las interpretaciones geométricas, para su posterior aplicación en

temas específicos de la ingeniería, como la mecánica de fluidos o la investigación de

operaciones.

La utilización de los conceptos del álgebra lineal en las ciencias aplicadas es frecuente.

Muchos problemas reales de la física, la economía y la ingeniería pueden ser modelados,

con bastante precisión para su análisis y solución, mediante sistemas de ecuaciones

lineales o mediante sistemas de fuerzas. Por otra parte, el manejo simultáneo de mucha

información correlacionada, se puede realizar con mayor eficiencia cuando la presentación

se hace en forma matricial.

Por las razones expuestas, espero que este texto proporcione nuevas herramientas de

apoyo para la formación profesional de los estudiantes. Sin embargo, el éxito en los

resultados del curso, depende no solo del buen uso de este material, sino de la disciplina

con que se asuma el compromiso adquirido.

OBJETIVO GENERAL

Desarrollar en los estudiantes la capacidad de abstracción de conceptos y de formulación

de modelos matemáticos, que se ajusten a la descripción y comportamiento de problemas

reales de la ingeniería o de otras áreas del conocimiento como la biología o las ciencias

sociales.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Estudiar las características y operaciones básicas entre matrices, para aplicarlas

en diferentes temas de la ingeniería o de otras áreas del conocimiento.

• Estudiar para los sistemas de ecuaciones lineales: los tipos de solución y las

correspondientes interpretaciones, métodos matriciales de solución y algunas

aplicaciones a la ingeniería.

• Generalizar el cálculo de los determinantes de orden n y sus aplicaciones, a partir de

las propiedades enunciadas con los determinantes de orden 2 y 3.

• Distinguir y aplicar las diferentes operaciones definidas con vectores en el plano (ℜ2)

y en el espacio (ℜ3) y su generalización a ℜ n.

• Estudiar las características y aplicaciones de la estructura algebraica llamada espacio

vectorial, haciendo abstracción de las operaciones definidas entre matrices y

vectores.

• Identificar y representar matricialmente transformaciones lineales entre espacios

vectoriales, en particular en el plano y en el espacio, con sus interpretaciones

geométricas.

CONTENIDO

UNIDAD 1. MATRICES (1)

Introducción

1

Objetivo general.

2

Objetivos específicos.

2

1.1. Generalidades de las matrices

3

1.1.1. Matrices especiales

4

1.1.2. Operaciones elementales sobre una matriz

7

1.1.3. Aplicaciones

8

Ejercicios propuestos.

13

1.2.

Operaciones con matrices

16

1.2.1. Suma de matrices

16

1.2.2. Multiplicación escalar

18

1.2.3. Producto de matrices

21

1.2.4. Aplicaciones

25

Ejercicios propuestos

28

1.3.

Matriz inversa

30

1.3.1. Algoritmo para hallar la matriz inversa

33

1.3.2. Aplicaciones

35

Ejercicios propuestos

38

Resumen y glosario

39

Auto evaluación

43

Retroalimentación

45

UNIDAD 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (49)

Introducción

49

Objetivo general

50

Objetivos específicos

50

2.1. Generalidades

51

2.1.1. Sistemas de ecuaciones lineales ( S.E.L. )

54

2.1.2. Sistemas lineales homogéneos ( S.L.H. )

59

Ejercicios propuestos

61

2.2. Métodos de solución

63

2.2.1. Eliminación de Gauss

64

2.2.2. Reducción de Gauss-Jordan

67

2.2.3. Solución de la ecuación matricial

72

Ejercicios propuestos

75

2.3.

Aplicaciones

78

2.3.1. Problemas con solución única

78

2.3.2. Problemas con más de una solución

82

Ejercicios propuestos

87

Resumen y glosario

89

Auto evaluación

91

Retroalimentación

92

UNIDAD 3. DETERMINANTES (97)

Introducción

97

Objetivo general

98

Objetivos específicos

98

3.1.

La función determinante

99

3.1.1. Definición por cofactores

101

3.1.2. Propiedades de los determinantes

107

Ejercicios propuestos

113

3.2. Aplicaciones

115

3.2.1. Regla de Cramer

115

3.2.2. Matriz inversa

120

Ejercicios propuestos

127

Resumen y glosario

129

Auto evaluación

131

Retroalimentación

132

UNIDAD 4. VECTORES (135)

Introducción

135

Objetivo general

136

Objetivos específicos

136

4.1. Vectores en ℜ2

138

4.1.1. Características de los vectores en ℜ2 (plano cartesiano):

138

Definiciones e interpretaciones geométricas.

Norma. Angulo direccional. Vector normado.

4.1.2. Operaciones con vectores en ℜ2

145

Suma: definición, interpretación geométrica, propiedades

145

Multiplicación escalar: definición, interpretación geométrica, propiedades 152

Producto escalar: definición, interpretación geométrica, propiedades

160

4.1.3. Aplicaciones de los vectores en ℜ2

172

Paralelismo y perpendicularidad

172

Proyecciones ortogonales, trabajo

174

Teorema del coseno

177

Auto evaluación

179

4.2. Vectores en ℜ3

181

4.2.1. Características de los vectores en ℜ3 (espacio tridimensional):

181

Definiciones e interpretaciones geométricas.

Norma. Ángulos y cosenos directores. Vector normado.

4.2.2. Operaciones con vectores en ℜ3 :

188

Suma, multiplicación escalar, producto escalar: definición, propiedades.

Producto vectorial, producto mixto: definición, interpretación geométrica

propiedades

196

4.2.3. Aplicaciones de los vectores en ℜ3

205

Ecuaciones de rectas y planos en ℜ3

205

Distancias e intersecciones entre rectas y planos

212

Ángulos entre rectas y planos

219

Momentos de una fuerza

224

Áreas de paralelogramos y volúmenes de paralelepípedos

203

Ejercicios propuestos

226

4.3. Vectores en ℜ n

227

4.3.1. Generalidades de los vectores en ℜ n

227

4.3.2. Operaciones en ℜ n

228

Resumen y glosario

235

Auto evaluación

238

Retroalimentación

241

UNIDAD 5. ESPACIOS VECTORIALES (249)

Introducción

249

Objetivo general

250

Objetivos específicos

250

5.1. Estructuras algebraicas

251

5.1.1. Estructura de grupo conmutativo

251

5.1.2. Estructura de campo

253

5.1.3. Estructura de espacio vectorial

254

5.1.4. Subespacios

256

Ejercicios propuestos

258

5.2. Bases y Dimensión

260

5.2.1. Generador de un espacio vectorial

260

5.2.2. Dependencia e independencia lineal

265

5.2.3. Bases y dimensión de un espacio vectorial

270

Ejercicios propuestos

278

5.3. Aplicaciones

279

5.3.1. Rango y nulidad de una matriz

279

5.3.2. Matriz de cambio de base

285

Ejercicios propuestos

288

Resumen y glosario.

290

Auto evaluación.

294

Retroalimentación.

296

UNIDAD 6. TRANSFORMACIONES LINEALES (301)

Introducción

301

Objetivo general

302

Objetivos específicos

302

6.1.

Transformaciones lineales

303

6.1.1. Definición y ejemplos

303

6.1.2. Imagen y Núcleo

311

6.1.3. Representación matricial

316

Ejercicios propuestos.

324

6.2. Valores y vectores propios.

325

6.2.1. Valores y vectores propios de una matriz.

325

6.2.2. Semejanza y diagonalización de matrices.

329

Ejercicios propuestos.

332

Resumen y glosario

333

Auto evaluación

336

Retroalimentación

337

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

1. MATRICES

“Entender el significado de los invariantes representa un esfuerzo para reconocer lo que, por su forma,

o color, o sentido, o lo que sea, es importante o significativo entre aquello que es solamente trivial o

efímero. Un simple ejemplo de su falta de comprensión lo proporciona el examinando de Cambridge que

aprendió perfectamente a convertir en factores a2- b2 pero fracasó cuando el examinador le preguntó

desconsideradamente por los factores p2- q2.”

H. W. Turnbull.

INTRODUCCIÓN

Un fenómeno frecuente en la historia de la matemática es sin duda, el que las herramientas

matemáticas necesarias para las aplicaciones científicas, han sido inventadas muchos

años antes de poder intuir la ciencia en la cual han tenido aplicación.

El álgebra de la matrices ha sido precisamente uno de ellas, y su estudio se considera

una de las contribuciones más importantes por parte de Arthur Cayley, matemático inglés

del siglo XIX. El tema de las matrices apareció en un escrito publicado por él en 1858,

titulado “Memorias sobre la teoría de las matrices”. Surgió de la observación sobre el

comportamiento de las combinaciones de transformaciones lineales (unidad 6), en la teoría

de los invariantes algebraicos.

La definición de la multiplicación entre matrices, por la cual se obtienen resultados

diferentes según el orden en que se multiplique, parece no tener importancia práctica o

científica. Sin embargo, 60 años después, Heisemberg encontró en el álgebra de matrices,

el instrumento preciso para el desarrollo de su obra trascendental en la mecánica cuántica.

En la actualidad, el desarrollo tecnológico ha evolucionado rápidamente a tal punto que,

la aplicación de programas computacionales es imprescindible en todo proceso de

optimización, en particular para el diseño de diferentes estructuras (edificios, puentes,

motores, etc. ), lo cual es posible gracias al manejo y aplicación de la teoría de las matrices

en los campos vectoriales.

El manejo que se hace de las matrices en esta unidad, es principalmente operacional. Sin

embargo, el tratamiento abstracto de las operaciones definidas y sus propiedades, permite

reconocer posteriormente la estructura algebraica del conjunto de las matrices como un

espacio vectorial (unidad 5).

1

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

OBJETIVO GENERAL

Estudiar las características y operaciones básicas entre matrices, para aplicarlas en

diferentes temas de la ingeniería o de otras áreas del conocimiento, como las ciencias

económicas y sociales.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Identificar los elementos de una matriz, la caracterización de algunas matrices especiales

y las operaciones elementales sobre sus filas o columnas.

• Definir las operaciones básicas entre matrices y sus propiedades, para aplicarlas en el

planteamiento y solución de problemas relacionados con actividades de la ingeniería.

• Aplicar la matriz inversa en la solución de ecuaciones matriciales.

CONTENIDO

1.1. Generalidades de las matrices

1.1.1. Matrices especiales

1.1.2. Operaciones elementales sobre una matriz

1.1.3. Aplicaciones

1.2. Operaciones con matrices

1.2.1. Suma de matrices

1.2.2. Multiplicación escalar

1.2.3. Producto de matrices

1.2.4. Aplicaciones

1.3. Matriz inversa

1.3.1. Algoritmo para hallar la matriz inversa

1.3.2. Aplicaciones

2

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

1.1. GENERALIDADES DE LAS MATRICES

Las matrices son elementos adecuados para presentar mucha información correlacionada,

en una forma organizada y práctica de analizar. Tal es el caso de los inventarios de

existencias en algún depósito de materiales de construcción, o el reporte de notas de un

estudiante durante los diferentes periodos de estudio.

Definición: Se llama MATRIZ REAL a un conjunto de números reales dispuestos en forma

rectangular, dentro de un paréntesis redondo o cuadrado.

Los números dispuestos en forma horizontal se llaman FILAS y los dispuestos en forma

vertical se llaman COLUMNAS.

El ORDEN de la matriz queda determinado por el número de filas y de columnas

respectivamente.

Notación: Las matrices se denotan con letras mayúsculas, sus elementos con letras

minúsculas y el orden en forma de subíndice.

A = (a ) = Fila 3 ( F )

mxn

i j mxn

3

Columna 2 ( C )

2

El elemento que se encuentra en la intersección de F y C es precisamente a .

3

2

32

Ejemplo:

A =

es una matriz de orden 2x3 porque tiene 2 filas y 3

2x3

columnas.

Las filas de A son: (1 –2 3) y (5 0 –1) que denotamos F y F respectivamente.

1

2

Las columnas de A son:

,

y

que denotamos C , C y C .

1

2

3

El elemento a = -1 es el elemento que se encuentra en la segunda fila y la tercera columna

23

de la matriz A.

3

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

En forma análoga, designamos los otros elementos: a = 5 ; a = -2 ; a = 0 ; a = 1 y

21

12

22

11

a = 3

13

Para esta matriz, no existe a porque hay solamente dos filas.

32

Definición: Dos MATRICES A y B del mismo orden son IGUALES, si y sólo si cada elemento

a de A, es igual al correspondiente elementos b de B.

ij

ij

Si A =(a ) y B = (b ) entonces A = B ⇔ a = b , "i, j

ij mxn

ij mxn

ij

ij

Ejemplos:

1. Dadas M =

y N =

, M = N solo si: a = 0 , z = 5 y x = 3 .

2. Las matrices A =

y B =

no son iguales aunque sean del mismo

orden y tengan los mismos elementos, porque a ≠

.

21

b21

1.1.1. Matrices especiales.

Según el orden y ciertas características de los elementos, se identifican algunas matrices

especiales.

Según el orden distinguiremos:

- Matriz FILA: es una matriz con una sola fila. F = (2 -1 0 3 5).

1x5

- Matriz COLUMNA: es una matriz con una sola columna. C =

.

3x1

- Matriz CUADRADA: es una matriz con igual cantidad de filas que de columnas.

Se denota A y se lee “matriz de orden n”.

n

es una matriz cuadrada de orden 2.

Según las características de los elementos distinguiremos:

4

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

- Matriz TRIANGULAR SUPERIOR: es una matriz cuadrada en la cual los elementos por

debajo de la diagonal principal son cero.

En forma análoga, se define matriz TRIANGULAR INFERIOR. La DIAGONAL PRINCIPAL

comprende los elementos de la forma a ii.

B =

es matriz triangular superior y la diagonal principal está formada por los

elementos b = 1 ; b = 1 ; b = -2 .

11

22

33

G =

es matriz triangular inferior. Los elementos de la diagonal principal

son g = -1 ; g = 0 ; g = 4.

11

22

33

- Matriz DIAGONAL: es una matriz triangular inferior y superior al mismo tiempo.

D =

- Matriz ESCALAR: es una matriz diagonal en la cual los elementos de la diagonal principal

son iguales.

E =

es una matriz escalar de orden 3 donde la constante en la diagonal

principal es 1/2

- Matriz IDÉNTICA: es una matriz escalar en la cual la constante es uno.

I =

es la matriz idéntica de orden 2.

2

I =

es la matriz idéntica de orden 3.

3

5

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

- Matriz NULA: es una matriz de orden mxn en la cual todos los elementos son cero.

O =

es la matriz nula de orden 2.

2

O =

es la matriz nula de orden 2x3.

2x3

- Matriz TRANSPUESTA DE A: es la matriz que se obtiene a partir de A, intercambiando

filas por columnas. Se denota AT

Si A =

es matriz de orden 2x3, entonces la matriz transpuesta de A

AT =

es matriz de orden 3x2.

- Matriz OPUESTA DE A: es la matriz que se forma con los opuestos de los elementos de

A . Se denota – A .

mxn

mxn

Si A =

entonces – A =

es la matriz opuesta de A.

- Matriz SIMÉTRICA: es una matriz cuadrada que es igual a su transpuesta.

S =

es una matriz simétrica porque ST = S

-Matriz ANTISIMÉTRICA: es una matriz cuadrada igual a la opuesta de su transpuesta.

K =

es una matriz antisimétrica, porque es igual a la opuesta de la matriz

transpuesta de K. Así: K T =

entonces -K T = K.

6

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

1.1.2. Operaciones elementales sobre una matriz.

Definición: Se llama OPERACIÓN ELEMENTAL sobre una matriz a cualquiera de las

siguientes modificaciones:

. Intercambiar dos filas (o columnas). Se denota: F↔F (o C↔C).

i

j

i

j

. Multiplicar todos los elementos de una fila (o columna) por una constante diferente

de cero. Se denota: kF (o kC ) , k≠0.

i

j

. Sumar término a término a una fila (o columna) otra fila (o columna) multiplicada

por una constante se denota: F + kF (o C + kC ).

i

j

i

j

Las operaciones elementales se aplican convenientemente sobre una matriz de cualquier

orden, con el fin de obtener la forma escalonada o reducida de la matriz.

Definición: Dos MATRICES A y B son EQUIVALENTES, si una de ellas se obtiene a partir

de la otra por medio de una o mas operaciones elementales.

Se denota: A ≈ B y se lee: “A es equivalente a B”.

Ejemplo:

Las siguientes matrices son equivalentes:

A =

; B =

; C =

; D =

Porque:

B se obtuvo a partir de A sumándole a la fila 2 la fila 1 multiplicada por –2: F +(-2)F

2

1.

C se obtuvo a partir de B multiplicando la fila 2 por (-1): (-1)F2.

D se obtuvo a partir de C intercambiando la fila 2 con la fila 3: F ↔F

2

3.

Entonces: A ≈ B ≈ C ≈ D lo cual se denota de la siguiente forma:

7

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

Definición: Una matriz A de orden mxn se llama ESCALONADA POR FILAS si cumple las

siguientes condiciones:

. Si existen filas nulas, aparecen en la parte inferior.

. El primer elemento no nulo de cada fila no nula, llamado pivote, es 1.

. En cada columna donde hay un pivote, los elementos por debajo de este son cero.

. Si i es mayor que j, el pivote de la fila-i está a la derecha del pivote de la fila-j.

Definición: Una matriz A de orden mxn se llama REDUCIDA POR FILAS si cumple las

siguientes condiciones:

. Si existen filas nulas, son las últimas.

. El primer elemento no nulo de cada fila no nula, llamado pivote, es 1.

. En cada columna donde hay un pivote, el único elemento no nulo es el pivote.

. Si i es mayor que j, el pivote de la fila-i está a la derecha del pivote de la fila-j.

NOTA: En general, el pivote puede se cualquier número, pero por comodidad en este

caso, se busca 1 en esa posición.

Teorema: Para cualquier matriz A de orden mxn:

(a) A es equivalente a una matriz escalonada por filas.

(b) A es equivalente a una matriz reducida por filas.

1.1.3. Aplicaciones

- Recopilación de información: Las matrices constituyen un instrumento muy útil para

recopilar mucha información en una forma organizada y fácil de analizar.

Por ejemplo, la matriz A =

puede representar el número de metros cúbicos

de agua demandados por familia al mes, en los estratos 2, 3 y 4 de tres municipios

diferentes. Por la información que contiene, la matriz se puede llamar MATRIZ MUNICIPIO-

CONSUMO, y se forma a partir de los datos reportados en la siguiente tabla:

8

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

CONSUMO POR ESTRATOS (m3/mes)

MUNICIPIO

Estrato 1

Estrato 2

Estrato 3

CHÍA

22

36

54

MADRID

20

40

52

MELGAR

28

45

65

Otro ejemplo interesante, es la llamada MATRIZ ORIGEN-DESTINO de pasajeros en un

sistema dado de transportes. Se forma con el número de pasajeros que se dirigen de un

lugar a otro.

Por ejemplo la matriz B =

se obtuvo de la siguiente tabla:

Destino

BOGOTÁ

TUNJA

IBAGUÉ

CAJICÁ

Origen

CHÍA

1200

50

20

55

MADRID

700

15

100

10

MELGAR

500

3

250

0

BOGOTÁ

0

120

50

40

Así, el elemento b = 0 de la matriz B, se interpreta como la ausencia de pasajeros que

34

viajen de Melgar a Cajicá; b = 1200 indica que el mayor flujo de pasajeros se presenta

11

de Chía hacia Bogotá.

En la unidad 2 de este módulo, se verá que las matrices son un buen instrumento para el

estudio de los sistemas de ecuaciones lineales.

- Matrices especiales: Algunas matrices se definen especialmente para describir la

información que se quiere recopilar. Tal es el caso de la llamada MATRIZ ESTOCÁSTICA,

que se caracteriza por ser una matriz cuadrada cuyos elementos son probabilidades y la

suma de sus columnas debe ser igual a 1.

9

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

Algunos ejemplos de matrices estocásticas son:

y

porque:

La suma de los elementos en cada columna es 1 y todos los elementos están entre 0 y 1,

es decir, son probabilidades.

La siguiente matriz estocástica (verifíquelo) recoge la información recopilada en un estudio

de usos del suelo en una ciudad, de 1980 a 1990:

U =

En esta matriz, por filas se lee el uso del suelo en 1980 y por columnas, el uso del suelo en

1990. Los usos considerados en orden de filas y de columnas son:

1. Residencial.

2. Comercial.

3. Industrial.

4. Transporte.

5. Baldío.

Cualquier elemento u representa la probabilidad de que el suelo que tuvo uso j en 1980,

ij

pasara a un uso i en 1990. Así por ejemplo, el elemento u = 0.28 nos indica que el suelo

32

con uso industrial en 1980, tenía una probabilidad de 0.28 de convertirse en área comercial

en 1990. Los elementos de la diagonal principal dan la probabilidad de que el uso del

suelo no cambiara.

Otro tipo de modelo especial son las matrices de COMUNICACIÓN, donde cada elemento

c es 1 si i se comunica con j y 0 si no se comunican, lo que hace que estas matrices sean

ij

siempre simétricas (igual a su transpuesta). Algunos ejemplos de estas matrices son:

C =

y D =

que se pueden representar por medio de grafos como

10

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

se ilustra en las figuras 1(a) y 1(b) respectivamente

B

A

B

C

A C

D

Fig. 1(a) Fig. 1(b)

En cada grafo (conjunto de puntos y líneas), los puntos representan ciudades y las líneas

carreteras entre ellos. La figura 1(a) indica que la ciudad A se comunica con B y con C,

pero B y C no están comunicadas. ¿Cómo interpreta la figura 1(b) ?

- Matrices escalonadas y reducidas: Una matriz de cualquier orden mxn, se puede llevar

a la forma escalonada o reducida por medio de operaciones elementales sobre las filas.

La secuencia más conveniente para llevar una matriz a la forma escalonada por filas, se

describe mediante el siguiente algoritmo: (es sólo una sugerencia).

. Buscar el pivote de la primera fila con cualquiera de las 3 operaciones elementales.

. Volver cero los elementos por debajo del pivote de la fila 1 con la operación de la

forma F + kF .

i

j

. Buscar el pivote de la segunda fila, teniendo cuidado de que quede a la derecha

del pivote de la primera fila.

. Volver cero los elementos por debajo del pivote de la fila 2.

. Continuar el proceso hasta terminar con todas las filas de la matriz.

11

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

Ejemplo:

Llevar la matriz A =

a la forma escalonada por filas.

Solución: Aplicando el algoritmo se tiene:

A =

= B

La matriz B es la forma escalonada de la matriz A, ya que como se puede observar, se

cumplen las condiciones de la definición: los pivotes son 1, por debajo de cada uno de

ellos aparecen ceros solamente y los pivotes se desplazan a la derecha, y la fila de cero

está en la parte inferior. Además A ≈ B.

La secuencia más conveniente para llevar una matriz a la forma reducida por filas se

describe mediante el siguiente algoritmo:

. Buscar el pivote de la primera fila.

. Volver cero los demás elementos de la columna donde está el pivote de la fila 1 con la

operación de la forma F + kF .

i

j

. Buscar el pivote de la segunda fila, teniendo cuidado de que quede a la derecha

del pivote de la primera fila.

. Volver cero los elementos de la columna donde está el pivote de la fila 2.

. Continuar el proceso hasta terminar con todas las filas de la matriz.

12

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

Ejemplo:

Llevar la matriz A =

a la forma reducida por filas

Solución: Siguiendo la secuencia indicada en el algoritmo tenemos

A =

= B

La matriz B es la forma reducida de la matriz A, pues cumple las condiciones de la definición:

las filas nulas aparecen abajo, en cada columna donde hay un pivote, éste es el único

elemento no nulo, y el pivote de la fila 2 está a la derecha del pivote de la fila 1.

Ejercicios propuestos:

1. En un experimento de laboratorio se tomó el tiempo en que dos grupos de bloques de

concreto de diferente tamaño, con 4 mezclas diferentes se compactaban. Los bloques de

menor tamaño lo hicieron en 8, 6, 5 y 7 horas. Los bloques de mayor tamaño lo hicieron en

22, 14, 18 y 12 horas. Escriba esta información en una matriz.

2. Una compañía tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices

cuyas filas, en orden representan el número de modelos regular, de lujo y extra vendidos,

mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y verdes

vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son:

13

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

E =

y F =

a) ¿En enero, cuántas unidades blancas del modelo extra se vendieron?

b) ¿En febrero, cuántos modelos de lujo azules se vendieron?

c) ¿En qué mes se vendieron mas modelos regulares verdes?

d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en los 2 meses?

e) ¿En qué mes se vendieron mas modelos de lujo?

f) ¿En qué mes se vendieron mas artículos rojos?

g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero?

3. a) Construya el grafo asociado a la matriz

b) Escriba la matriz asociada al siguiente grafo:

A

B C

D

E

4. Encuentre valores de x, y y z para que

=

14

UNIDAD 1 - Matrices - Generalidades

5. Dadas las matrices

A =

; B =

; C =

; D =

; E =

F =

; G =

; H =

; R =

a) ¿Cuáles son diagonales?

b) ¿Cuáles son triangulares (superior o inferior)?

c) ¿Cuáles son escalares?

d) ¿Cuáles son simétricas?

e) ¿Cuáles son antisimétricas?

6. Escribir las siguientes matrices, de acuerdo a las definiciones dadas:

a) A = ( a ) tal que a =

4x5

ij

ij

b) B = ( b ) tal que b =

5x4

ij

ij

7. Lleve las siguientes matrices a la forma reducida por filas:

a)

b)

c)

8. Justifique por qué en una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal

siempre son cero.

15

UNIDAD 1 - Matrices - Operaciones con Matrices

1.2. OPERACIONES CON MATRICES

Se definen tres operaciones básicas entre matrices: la suma, la multiplicación escalar

(o multiplicación por un escalar) y el producto, cada una de ellas con características y

propiedades diferentes.

La suma se efectúa entre dos matrices del mismo orden y el resultado es una matriz del

mismo orden.

La multiplicación escalar se efectúa entre una matriz y un real, y el resultado es una matriz

del mismo orden.

El producto se define entre dos matrices que deben ser cuadradas del mismo orden, y el

resultado es otra matriz del mismo orden; ó, entre matrices de diferente orden con cierto

condicionamiento para el orden de cada una de ellas y el resultado es una matriz de orden

diferente al de los factores.

1.2.1. Suma de matrices

Definición: Dadas dos matrices A = ( a ) y B = ( b ) de orden mxn, se define la SUMA de

ij

ij

A y B como otra matriz C = ( c ) de orden mxn donde c = a + b

ij

ij

ij

ij

C = A + B = ( a + b ) = ( c )

mxn

mxn

mxn

ij

ij

ij

Ejemplo:

Si A =

y B =

entonces:

2x3

2x3

C =

=

2x3

Propiedades:

1. Clausurativa: A + B = C

mxn

mxn

mxn

Esto quiere decir que 2 matrices del mismo orden siempre se pueden sumar y el resultado

es una matriz del mismo orden.

16

UNIDAD 1 - Matrices - Operaciones con Matrices

2. Conmutativa: A + B = B + A

Significa que el orden en que se suman las matrices no afecta el resultado.

Demostración: Si A = ( a ) y B = ( b ) entonces:

ij

ij

A + B = ( a + b ) definición de suma de matrices.

ij

ij

= ( b + a ) + es conmutativa en ℜ.

ij

ij

= B + A definición de suma de matrices.

3. Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C

Quiere decir que se pueden sumar más de 2 matrices, sin que la forma de agruparlas

afecte el resultado, por lo que se puede prescindir de los paréntesis.

Demostración: Si A = ( a ) ; B = ( b ) y C = ( c ) entonces:

ij

ij

ij

(A + B) + C = ( a + b ) + ( c ) definición de suma de matrices.

ij

ij

ij

= ([a + b ] + c ) definición de suma de matrices.

ij

ij

ij

= ( a + [b + c ]) + es asociativa en ℜ.

ij

ij

ij

= ( a ) + ( b + c ) definición de suma de matrices.

ij

ij

ij

= A + (B + C) definición de suma de matrices.

4. Modulativa: "A , A + O = O + A = A

mxn

mxn

mxn

Significa que O es el MÓDULO de la suma de matrices porque, cualquier matriz sumada

mxn

con la matriz nula del mismo orden no cambia.

Demostración: A + O = (a + 0 ) definición de suma de matrices.

ij

ij

= ( a ) 0 es el módulo de la suma de reales.

ij

= A definición de la matriz A.

5. Invertiva: "A , ∃(-A) tal que A + (-A) = O = (-A) + A

mxn

mxn

mxn

Toda matriz sumada con su opuesta, da como resultado la matriz nula del mismo orden.

Demostración: A + (-A) = (a + (-a )) definición de suma de matrices.

ij

ij

= ( 0 ) a – a = 0 para todo a ∈ℜ.

ij

= O

definición de la matriz nula.

mxn

17

UNIDAD 1 - Matrices - Operaciones con Matrices

1.2.2. Multiplicación escalar

Definición: Dada una matriz A = (a ) de orden mxn y una constante r ∈ℜ , se define la

mxn

ij

MULTIPLICACIÓN ESCALAR de A por r como r A = ( r a ) = B

mxn

ij

mxn

Se dice que B es MÚLTIPLO ESCALAR de A.

Ejemplo:

Si A =

entonces:

2A =

=

- A = -

=

A =

=

Propiedades:

1. Para toda matriz A , 1A = A ; (-1)A = -A ; 0A = O .

mxn

mxn

2. Si r , s ∈ ℜ y A : ( r . s) A = r ( s A).

mxn

3. Si r , s ∈ ℜ y A : ( r + s) A = r A + s A.

mxn

4. Si r ∈ ℜ y A , B : r( A + B ) = r A + r B.

mxn

mxn

Nota: En la propiedad 1, 1 es el módulo para la multiplicación escalar.

0 ∈ℜ y O es la matriz nula de orden mxn.

18

UNIDAD 1 - Matrices - Operaciones con Matrices

En la propiedad 2, al lado izquierdo, la multiplicación entre paréntesis es de reales y la

de afuera es escalar. Sin Embargo, en el lado derecho, las dos multiplicaciones son

escalares.

En la propiedad 3, la suma de la derecha es de matrices, pero la suma de la izquierda es

de reales.

En la propiedad 4, las dos sumas son de matrices.

Teorema: Si A y B son matrices de orden mxn entonces

(1) ( AT )T = A

(2) ( r A )T = r AT

(3) ( A + B )T = AT + BT

Demostración: (3): Si A = ( a ) y B = ( b ) entonces:

ij

ij

( A + B )T = ( a + b )T definición de suma de matrices.

ij

ij

= ( a + b ) definición de matriz transpuesta.

ji

ji

= ( a ) + ( b ) definición de suma de matrices.

ji

ji

= AT + BT definición de AT y BT.

Ejemplos:

1. Si D =

y E =

encuentre una matriz X de orden 2 tal que:

3D – ET + 2X = O 2

Solución:

En la ecuación matricial dada, se puede “despejar” X aplicando convenientemente las

propiedades de la suma de matrices y de la multiplicación escalar:

3D – ET + 2X = O ⇒ 2X = ET – 3D ⇒ X = ( ET – 3D) ⇒ X = ET – D

⇒ X =

⇒ X =

19

UNIDAD 1 - Matrices - Operaciones con Matrices

2. Si A =

verificar que ( A )T = AT .

Verificación:

A =

⇒ A =

=

⇒ ( A )T =

A =

⇒ AT =

⇒ AT =

Como se observa en los dos resultados anteriores: ( A )T = AT .

3. Si A =

y B =

verificar que ( A + B )T = AT + BT .

Verificación:

Se comprueba entonces que los dos resultados son iguales.

20

UNIDAD 1 - Matrices - Operaciones con Matrices

1.2.3. Producto de matrices

La condición necesaria para poder multiplicar dos matrices, es que sean cuadradas del

mismo orden, o que el número de columnas en la primera matriz sea igual al número de

filas en la segunda.

Definición: Dadas dos matrices A = (a ) de orden mxn y B = (b ) de orden nxp, se define

ij

ij

el PRODUCTO de A y B como una matriz C = (c ) de orden mxp, donde cada c es el

ij

ij

producto de la i-ésima fila de A con la j-ésima columna de B.

A.B = C = (c ) donde c = F .C =

ij

ij

iA

jB

C se obtiene multiplicando término a término la i-ésima fila de A y la j-ésima columna de B

ij

y sumando los resultados.

Si A =

y B =

entonces:

c = F .C =

.

= a b + a b + a b + . . . + a b

ij

iA

jB

i1 1j

i2 2j

i3 3j

in n j.

Nota: Si las dos matrices A y B son cuadradas de orden n, la matriz producto es una matriz

cuadrada de orden n.

Si A es una matriz de orden mxn, B “debe” ser una matriz de orden nxp (el número de filas

en B tiene que ser igual al de columnas en A), y la matriz producto es una matriz de orden

mxp (con tantas filas como la matriz A y tantas columnas como la matriz B).

21

UNIDAD 1 - Matrices - Operaciones con Matrices

Ejemplos:

1. Si A =

y B =

entonces AB = C =

=

Donde c = F .C =

= 2.1 + 1.(-1) = 2 – 1 = 1.

11

1A

1B

c = F .C =

= 2.(-2) + 1.2 = -4 + 2 = -2.

12

1A

2B

c = F .C =

= 3.1 + 4.(-1) = 3 – 4 = -1.

21

2A

1B

c = F .C =

= 3.(-2) + 4.2 = -6 + 8 = 2.

22

2A

2B

2. Si A =

y B =

entonces:

2x3

3x4

AB = C =

=

donde:

2x4

c = F .C =

= 2.0 + 3.3 + 0.0 = 0 + 9 + 0 = 9.

11

1A

1B

c = F .C =

= 2.(-2) + 3.1 + 0.2 = -4 + 3 + 0 = -1.

12

1A

2B

c = F .C =

= 2.8 + 3.(-5) + 0.0 = 16 – 15 + 0 = 1.

13

1A

3B

c = F .C =

= 2.1 + 3.5 + 0.(-2) = 2 + 15 + 0 = 17.

14

1A

4B

22

UNIDAD 1 - Matrices - Operaciones con Matrices

c = F .C =

= (-1).0 + 1.3 + (-4).0 = 0 + 3 + 0 = 3 .

21

2A

1B

c = F .C =

= (-1).(-2) + 1.1 + (-4).2 = 2 + 1 – 8 = -5 .

22

2A

2B

c = F .C =

= (-1).8 + 1.(-5) + (-4).0 = -8 – 5 + 0 = -13 .

23

2A

3B

c = F .C =

= (-1).1 + 1.5 + (-4).(-2) = -1 + 5 + 8 = 12 .

24

2A

4B

Como la condición para poder multiplicar dos matrices es que el número de columnas en

la primera matriz sea igual al número de filas en la segunda, el producto de matrices no

es conmutativo. ¿Parece extraño? Siempre había funcionado aquello de que “el orden de

los factores no altera el producto”, pero en el caso de las matrices, esa afirmación no es

válida.

3. Si A =

y B =

entonces AB =

pero BA =

y por tanto AB ≠ BA.

4. Si A =

y B =

entonces AB existe pero

2x3

3x4

BA no existe porque no se cumple la condición para efectuar el producto.

5. Si A =

y B =

tanto AB como BA existen pero son de diferente

orden, es decir AB ≠ BA : AB =

pero BA =

.

23

UNIDAD 1 - Matrices - Operaciones con Matrices

Sin embargo, hay caso en que la conmutatividad si se cumple:

6. Si A =

y B =

entonces AB =

= BA.

7. Si A =

entonces A2 = A.A =

=

.

Notación: A .A = A 2

n

n

n

En general, A .A . . . . A = A k , si A se tomó k veces como factor.

n

n

n

n

n

Propiedades:

1. Asociativa ( A.B ).C =A.( B.C ) = A.B.C .

Verificación: Si A =

; B =

y C =

entonces:

[ AB ]C =

=

=

A[ BC ] =

=

=

Se concluye por tanto que: [ AB ]C = A [ BC ].

2. Distributiva A.(B + C) = A.B + A.C

Verificación: Si A =

; B =

y C =

entonces:

24

UNIDAD 1 - Matrices - Operaciones con Matrices

A[ B + C ] =

=

=

AB + AC =

+

=

+

=

Observando los resultados anteriores se concluye que A [B + C] = AB + AC.

Nota: Al efectuar el producto en la propiedad distributiva, se debe respetar el orden en que

están escritos los factores, dado que el producto de matrices no es conmutativo.

3. Modulativa A .I = A = I .A ; D .I = D = I .D

mxn n

mxn

m

mxn

n n

n

n

n

Verificación: Si A =

y B =

entonces:

I .A =

=

=

= A.I

2

2

I .B =

=

=

= B.I

2

3.

Nota: Observe que la matriz idéntica es el módulo para el producto de matrices, pero si la

matriz no es cuadrada, el orden de la matriz idéntica, no es el mismo si se multiplica a la

derecha, que si se multiplica a la izquierda.

1.2.4. Aplicaciones

De la suma: Un laboratorio farmacéutico produce cierto medicamento. Los costos relativos

a la compra y transporte de cantidades específicas de las sustancias necesarias para su

25

UNIDAD 1 - Matrices - Operaciones con Matrices

elaboración, adquiridas en dos localidades (suministradoras) distintas, están dados en las

siguientes matrices:

A =

y B =

, donde las filas contienen la información acerca de los

costos de compra (fila 1) y transporte (fila 2), respecto a cada una de las tres sustancias a,

b y c (columnas), respectivamente.

La matriz que representa los costos totales de compra y transporte de cada una de las

sustancias está dada por A + B =

en la cual, la primera fila se refiere a los

costos globales de compra y la segunda, a los de transporte de las sustancias para el

medicamento.

De la multiplicación escalar: Un distribuidor de materiales para construcción normalmente

despacha pedidos de 4 tipos de recebo en 3 depósitos.

El mes pasado recibió los siguientes pedidos V =

y para el próximo mes espera aumentar 4 veces el volumen de ventas.

La matriz que representa las ventas del mes entrante es 4V =

.

Del producto: Un contratista ha aceptado construir 5 casas estilo rústico, 7 estilo moderno y 12

estilo colonial. Entonces, su contrato se puede representar por la matriz fila P = (5 7 12).

Los materiales que utilizará en cada tipo de construcción son acero, madera, vidrio, pintura

y mano de obra. El número de unidades de cada material que se usará en cada tipo de

casa están dadas en la matriz:

M =

,donde cada fila indica la cantidad de material necesario para

un tipo de casa (rústica, moderna y colonial respectivamente), y cada columna indica la

cantidad de un material dado (acero, madera, vidrio, pintura y mano de obra) para cada

tipo de casa.

26

UNIDAD 1 - Matrices - Operaciones con Matrices

Las cantidades de cada material que el contratista debe pedir para cumplir con su contrato

están dadas por la matriz:

PM = (5 7 12)

= (146 526 260 158 388), es decir, el contratista debe

ordenar 146 unidades de acero, 526 de madera, 260 de vidrio y 158 de pintura.

Además, el contratista quiere calcular los costos que le demandan estos materiales si el

acero cuesta $1600 por unidad, la madera $800 por unidad, el vidrio $500 por unidad, la

pintura $100 por unidad y la mano de obra $1000.

Si estos datos se representan por una matriz columna C =

la matriz MC da el

costo para cada tipo de casa: MC =

=

.

El costo total de materiales para todas las casas está dado por:

P( MC ) = (5 7 12)

= 1’173.600.

El costo total para el contratista es de $1’173.600.

27

UNIDAD 1 - Matrices - Operaciones con Matrices

Ejercicios propuestos:

1. Determine los valores de a, b, c y d tales que

-

=

.

2. Dada la matriz A =

halle una matriz B que sea múltiplo escalar de

A y tal que b = 6.

13

3. Si A =

y B =

halle la matriz M tal que A – 2M = 3B.

4. Muestre que la matriz X =

satisface la ecuación X2 – 5X + 4I =O

2

2.

5. Dadas las matrices A =

; B =

y X =

verifique que AX = BX aunque A≠B .

6. Calcule el producto ( x y z)

.

7. Si A =

,verifique que A3 = 5I3.

8. Una matriz A se llama IDEMPOTENTE si A2 = A, verifique que la matriz

es idempotente.

28

UNIDAD 1 - Matrices - Operaciones con Matrices

9. Para cualquier matriz A de orden mxn, se cumple que A = (A + AT) + ( A – AT)

donde

(A + AT) es una matriz simétrica y

( A – AT ) es una matriz

antisimétrica.

Exprese la matriz A =

como la suma de una matriz simétrica y

una antisimétrica.

10. Halle las matrices X y Y que satisfacen las ecuaciones

11. Si A =

y B =

¿existe una matriz C tal que CA = B? Justifique su

respuesta.

12. Encuentre una formula para An donde n es un entero positivo, si A es la matriz:

a)

b)

29

UNIDAD 1 - Matrices - Matriz Inversa

1.3. MATRIZ INVERSA

Definición: Se dice que una matriz A de orden n es INVERTIBLE o NO-SINGULAR, si es

posible encontrar otra matriz B del mismo orden tal que: A.B = I = B.A.

n

En caso contrario, se dice que la matriz es SINGULAR O NO-INVERTIBLE.

B se llama MATRIZ INVERSA de A y se denota como B = A-1.

Recordemos que la matriz idéntica es el módulo para el producto de matrices. Por tanto,

si A es matriz invertible de orden n, el producto de ella con su inversa A-1 (de orden n

también) debe dar como resultado la matriz idéntica de orden n, es decir:

A A -1 = I = A -1 A

n n

n

n

n

Ejemplos:

1. La matriz A =

es invertible porque:

=

=

Entonces la matriz inversa de A es A-1 =

.

2. La matriz A =

no es singular porque, si

=

,se tendría

=

de donde resulta la inconsistencia: c= 1 y c= 0 .

Por tanto, no existe una matriz B tal que AB = I = BA,

Teorema: Si A es matriz invertible, entonces la matriz inversa A -1 es única.

n

n

Demostración:

Supongamos que B y C son matrices inversas de A, es decir:

AB = BA = I y AC = CA = I .

Como el producto de matrices es asociativo: C( AB ) = ( CA )B ⇒ CI = IB ⇒ C = B.

30

UNIDAD 1 - Matrices - Matriz Inversa

Teorema: Dadas A y B matrices cuadradas del mismo orden:

(a) ( A-1 )T = ( AT )-1 si A es no-singular.

(b) ( A B )T = BT AT .

Verificación:

Si A =

; A-1 =

, entonces ( A-1 )T =

.

Si A =

; AT =

, entonces ( AT )-1 =

.