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algo

Antonio León Sánchez

El teorema de Gödel

Introducción y análisis cr´ıtico del pri-

mer teorema de incompletitud de Gödel

Interciencia

algo

Antonio León

El teorema de Gödel

Primera edición, Salamanca. 2013

Impreso en Espa˜

na / Printed in Spain

Printed by Bubok Publishing S.L.

Registro legal S.C. Cod. 1312289692975

Todos los derechos reservados. Ninguna parte de este libro puede ser

reproducida, almacenada o transmitida sin el correspondiente

permiso del propietario de los derechos de copia.

Contra el nacional

Contr

ismo y sus violencias

a el nacional

Índice general

1. Pr´

ologo

1

Convenciones y tabla de s´ımbolos

5

2. El escenario plat´

onico

7

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Dos asuntos pendientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Platonismo y biolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Platonismo y matem´

aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Las leyes de la l´

ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Los m´

etodos de la ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Corrupci´

on cient´ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Cr´ıtica de la autorreferencia

49

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Lenguaje, metalenguaje y autolenguaje . . . . . . . . 50

Cr´ıtica sint´

actica de la autorreferencia . . . . . . . 56

Paradojas e inconsistencias . . . . . . . . . . . . . . . . 65

paradoja del mentiroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Paradoja de Grelling-Nelson . . . . . . . . . . . . . . . 73

Caracter´ısticas de las paradojas sem´

anticas . . . . . 75

Paradojas de Russell

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Paradoja de Richard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

La paradoja del predicado de Russell . . . . . . . . . 85

4. El Gran Teorema

89

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

vii

viii —— Contenido

El programa formalista de Hilbert . . . . . . . . . . . 90

La divulgaci´

on del Gran Teorema . . . . . . . . . . . . 91

El sistema formal de G¨

odel . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Los pasos de la demostraci´

on . . . . . . . . . . . . . . . 96

Codificaci´

on num´

erica del sistema P

. . . . . . . . . . 99

La demostraci´

on del teorema . . . . . . . . . . . . . . . 105

Una cr´ıtica fugaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5. Cr´ıtica del teorema de G¨

odel

121

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Naturaleza, l´

ogica y lenguaje . . . . . . . . . . . . . . 122

Convenciones y definiciones preliminares . . . . . . . 125

La Primera Ley de la l´

ogica . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Teorema del Sujeto Inconsistente . . . . . . . . . . . . 131

Consecuencias sobre el teorema de G¨

odel

. . . . . . 137

Breve ep´ılogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Referencias bibliogr´

aficas

143

´

Indice alfab´

etico

156

1.-Prólogo

Llevamos veintisiete siglos discutiendo sobre si los mentiro-

sos mienten o no mienten cuando dicen que mienten; o si

es posible terminar lo interminable; o si existen contradic-

ciones contradictorias y contradicciones no contradictorias.

El infinito (el supuesto término de lo interminable) y la au-

torreferencia (con su cortejo de mentirosos que dicen que

mienten) son dos conceptos claves en esas discusiones. Lo

son también en las ciencias formales contemporáneas, aun-

que solo en ellas. En las ciencias experimentales son un in-

cordio del que a veces cuesta liberarse, sobre todo el infinito,

según cuentan los f´ısicos de part´ıculas elementales. Lo que

para unos es un para´ıso para otros es una pesadilla o una

enfermedad, incluso un chiste. Las opiniones están, pues,

divididas, pero las que proceden del para´ıso se oyen mucho

más que las otras. Lo que no implica que tengan más razón.

A pesar de las acaloradas discusiones que siempre provoca-

ron, ni el infinito ni la autorreferencia son asuntos que hoy

1

2 —— Prólogo

d´ıa se discutan fuera del ámbito académico especializado.

Conviene recordar, sin embargo, que los asuntos académicos

se alimentan de recursos públicos y que acaban teniendo con-

secuencias sobre el público que los alimenta. Es necesario,

por consiguiente, que esos asuntos salgan de vez en cuando

de sus escenarios académicos y se expongan al público. Con

mayor motivo si existe la sospecha de que tienen consecuen-

cias da˜

ninas o que nos están forzando a ir en la dirección

equivocada.

Ese podr´ıa ser el caso de la autorreferencia, a cuya revisión

cr´ıtica informal se dedican las páginas de este librito. Se

destaca la informalidad de la cr´ıtica porque no es un t´ıpico

libro de texto ni un sesudo ensayo cient´ıfico, sino una re-

flexión cr´ıtica en tono divulgativo, aunque la cr´ıtica llega a

ser muy severa. La excepción es el último cap´ıtulo, que si-

gue un formato más en l´ınea con la literatura cient´ıfica. De

hecho es la traducción de un art´ıculo cient´ıfico. Aún as´ı, su

contenido será accesible al público no especializado porque

se mantiene siempre dentro de la lógica de enunciados, que

se expresa de forma natural a través del lenguaje ordinario.

Las conclusiones finales de este cap´ıtulo podr´ıan justificar el

peque˜

no esfuerzo de atención que requiere su lectura.

En el primer cap´ıtulo del libro se introduce el escenario teóri-

co de las discusiones, lo que implica hablar de platonismo,

de lógica y de métodos cient´ıficos por una parte, y por la

otra de la trastienda del cient´ıfico, sobre todo de sus vicios y

de sus sombras, pues sin ellas ser´ıa imposible explicar el con-

El teorema de Gödel —— 3

tenido del resto del libro. El segundo cap´ıtulo está dedicado

a la autorreferencia y a las paradojas semánticas. Incluye

una cr´ıtica sintáctica de la autorreferencia, que también se

aplica a las paradojas. El tema central del tercer cap´ıtulo

es el teorema de Gödel, se analiza su contenido y se expli-

ca detalladamente su demostración en términos del lenguaje

ordinario. El cap´ıtulo termina con una breve cr´ıtica sintácti-

ca del teorema de Gödel. En el cuarto cap´ıtulo se define la

noción de sujeto de consistencia y se prueba un teorema que

permite desenmascarar la naturaleza inconsistente de las pa-

radojas semánticas y de la fórmula indecidible de Gödel que

protagoniza su famoso teorema de incompletitud.

Al hojear el libro, el lector podrá observar la presencia de

algunos s´ımbolos matemáticos y lógicos, lo que podr´ıa cau-

sarle la falsa impresión de que sus páginas están destinadas

a lectores con una formación especial. No es as´ı, el sim-

bolismo utilizado puede resultar llamativo pero es escaso

y elemental, y su manejo no exige del lector formación es-

pec´ıfica alguna, ni habilidades de abstracción especiales. Es

suficiente con el sentido común, y en todo caso con la for-

mación propia de un buen bachillerato. Para compensar, se

ha incluido otro simbolismo más amable que también refleja

el contenido del libro, incluso de una forma más profunda.

En cuanto al texto propiamente dicho, he procurado seguir

la máxima de Boltzmann-Einstein de poner por encima de

todo la claridad de las explicaciones.

5

Convenciones y tabla de s´ımbolos

A lo largo del texto se usarán los siguientes s´ımbolos lógicos

estándar:

=

(Igualdad)

¬

No (negación lógica)

O (disyunción lógica)

Y (conjunción lógica)

⇒, ⇓ Implica (implicación lógica)

Existe al menos un

En los argumentos, las premisas se escribirán por encima

de la conclusión, separadas de la misma por una l´ınea ho-

rizontal. La conclusión irá precedida por el s´ımbolo ∴ (que

significa: por tanto) como en el caso:

p

∴ p ∨ q

que se lee: p; por lo tanto p o q. O como en en el caso:

p ⇒ q

p

∴ q

que se lee: p implica q; p; por lo tanto q.

Prácticamente todos los objetos que se analizan en este libro

son sentencias. Para evitar confusiones, en la mayor´ıa de los

6

casos las sentencias consideradas se escribirán en una l´ınea

de texto independiente (numerada, o no) como en:

Los c´ırculos son redondos

(1)

Cuando las sentencias consideradas no se escriban en l´ıneas

aparte, se escribirán entre paréntesis rectos, como en el ca-

so: la sentencia [Los c´ırculos son redondos] parece verdadera.

Sin embargo cuando consideremos las sentencias como ob-

jetos sintácticos las escribiremos entre comillas, como en el

caso: ’Juan es alto’ tiene tres palabras.

2.-El escenario platónico

Introducción

Los libros de divulgación cr´ıtica, como este mismo, no son

muy frecuentes. Seguramente porque la divulgación y la

cr´ıtica requieren tratamientos distintos, tanto más cuanto

más peliagudo es el asunto que se pretende divulgar y al

mismo tiempo criticar. En la literatura de divulgación se

prefiere la claridad al rigor, en los textos cr´ıticos ocurre lo

contrario. Ser riguroso sin caer en el academicismo duro es

tan dif´ıcil como ser claro sin perder un ápice de rigor. Sin

embargo no es imposible, como otros autores han demostra-

do. Aqu´ı se propone al lector un camino formado por cuatro

cap´ıtulos de rigurosidad creciente que culminan en una cr´ıti-

ca formal al teorema de Gödel. Pero ni siquiera ese último

cap´ıtulo requerirá del lector una formación especializada.

Antes de empezar a discutir presentaremos el escenario cien-

t´ıfico de las discusiones. Ese será el único objetivo de es-

te primer cap´ıtulo. Conviene hacerlo para tener una visión

7

8 —— El escenario platónico

apropiada de la clase de problemas que plantean la auto-

rreferencia y el teorema de Gödel, mencionando de paso los

problemas que también plantea un pariente suyo cercano:

el infinito matemático. En este cap´ıtulo hablaremos de los

fundamentos, de los métodos y de los vicios de la ciencia.

Sin entrar en detalles técnicos, empezaremos recordando dos

viejos asuntos que para la minor´ıa inconformista siguen sin

estar debidamente resueltos: el infinito y la autorreferen-

cia. Nos servirán para introducir el platonismo, una vieja

visión del mundo que sigue siendo el fundamento ideológi-

co de las ciencias formales contemporáneas. Haremos una

cr´ıtica biológica del platonismo y después analizaremos los

fundamentos legales y los métodos de la ciencia.

Terminaremos el cap´ıtulo con una breve visita a la trastien-

da del cient´ıfico. Por extra˜

na que pueda parecer, esa visita

es necesaria para entender ciertas situaciones. As´ı es, al final

del libro, algún lector se podr´ıa preguntar cómo es posible

que hayamos dado lugar a que se pueda escribir un libro

como este. Si el teorema de Gödel es el teorema más impor-

tante de todos los tiempos, si lo han estudiado decenas de

miles de universitarios de todo el mundo, ¿cómo es posible

que se pueda hacer de él la cr´ıtica que se hace en el último

cap´ıtulo de este libro? No es posible responder a esa pregun-

Trastienda del

ta, en efecto, sin conocer algunos detalles de la trastienda del

cient´ıfico

cient´ıfico, sin hacer una visita a los bajos fondos de la Acade-

mia. Al hacerla, el lector podrá comprobar que all´ı también

Habas

cient´ıficas

se cuecen habas, por muy cient´ıficas que sean. El problema

en este caso es que nos sale muy caro mantener el hervor. Y

Dos asuntos pendientes —— 9

que nadie lo vigila.

Dos asuntos pendientes

El infinito y la autorreferencia son dos invenciones presocráti-

cas sobre las que llevamos discutiendo más de veinte siglos.

La primera de ellas, el infinito, aparece en los argumentos de

Zenón de Elea sobre la imposibilidad del cambio (de cual- Zenón de Elea

quier cambio), defendida por su maestro Parménides. La Parménides

segunda tiene su origen en una ocurrencia semántica del

filósofo cretense Epiménides. La razón de que provoquen Epiménides

tantas discusiones es su elevad´ısima capacidad de generar

paradojas. No hay nada en la historia de la ciencia que se

pueda comparar con esa extraordinaria fecundidad. Pero el Fecundidad

paradójica

brillante historial de paradojas generadas por el infinito y

la autorreferencia no es precisamente un mérito formal por-

que, por el contrario, esas paradojas podr´ıan ser el efecto

inevitable de su inconsistencia.

La frontera entre paradojas y contradicciones es a veces tan Paradojas y

contradicciones

sutil y confusa, y las paradojas generadas por el infinito y

la autorreferencia son tan numerosas, que la sospecha de in-

consistencia recae sobre ambas nociones. Y si la sospecha

se confirmase habr´ıa que poner patas arriba una buena par-

te de las matemáticas y de la lógica contemporáneas. Lo

que naturalmente provoca el rechazo furioso de la ortodoxia

infinitista y autorreferente, que además es la corriente domi-

nante en el formalismo contemporáneo. En realidad es algo

más que la corriente dominante, es casi la única corriente: La única

corriente

si no estás dentro de ella se procura que no estés en ningún

10 —— El escenario platónico

otro sitio.

Empecemos por el principio y presentemos al infinito y a su

pariente formal, la autorreferencia. Cuando usted cuenta los

números naturales 1, 2, 3, 4, 5,. . . no encontrará un último

número con el que terminar de contar. Contar los núme-

Infinito

ros naturales es un proceso potencialmente infinito: no hay

potencial

forma de acabar. Siempre hay un número siguiente. Los in-

finitista, por el contrario, defienden que en realidad s´ı que se

puede acabar. Lo defienden porque ellos creen en otro tipo

Infinito

de infinitud, creen en la hipótesis del infinito actual. Según

actual

esa hipótesis, los números naturales existen todos ellos en el

acto, todos ellos a la vez (al parecer en la mente de Dios).

De acuerdo con los infinitistas contemporáneos es posible

contar todos los números naturales en un tiempo finito, por

Supertareas

ejemplo en una hora (teor´ıa de las supertareas [84]). Yo no Cr´ıtica del

infinito

lo creo, y algunas razones he dado [66]. 1 Tampoco soy el único (aunque somos pocos).

Autorreferencia

La idea clave de la autorreferencia, por otra parte, es que las

frases o sentencias pueden referirse a ellas mismas, pueden

decir cosas de s´ı mismas, por ejemplo:

Esta sentencia no es verdadera

La idea puede parecer inocente, pero como veremos a partir

del segundo cap´ıtulo de este libro, no lo es. Nos ha hecho, y

nos sigue haciendo, perder mucho tiempo y dinero.

1 En interciencia.es puede encontrar algunos cap´ıtulos traducidos.

Dos asuntos pendientes —— 11

El infinito y la autorreferencia resisten el paso de los siglos

al amparo de una curiosa corriente de pensamiento según

la cual la mente no elabora las ideas, contacta con ellas.

Según esa forma de pensar, las ideas tienen existencia pro-

pia por encima de nuestra enga˜

nosa realidad orgánica. Es el

platonismo o esencialismo platónico, cuya versión cristiana Platonismo

(teoplatonismo) se atreve incluso a precisar el sitio exacto Teoplatonismo

donde residen las Ideas: en la mente de Dios. De esa corrien-

te formaron parte el creador de la teor´ıa matemática del

infinito, Georg Cantor, y el de la obra cumbre de la autorre- G. Cantor

ferencia K. Gödel. Los dos fueron fundamentalistas platóni- K. Gödel

cos de escaso apego a las ciencias naturales.2 No hay que olvidar que las ciencias naturales nunca fueron muy platónicas. Se comprende que Platón fuera platónico en tiempos de Platón

Platón pero, dado su eclecticismo, hoy probablemente no lo

ser´ıa. Conocemos ya suficientes detalles del mundo f´ısico y

del mundo orgánico como para descartar esa primitiva vi-

sión del mundo. Por eso resulta tan chocante su persistencia Persistencia

del platonismo

en una buena parte de los matemáticos y lógicos del siglo

XXI.

Para el platonismo contemporáneo, el primer teorema de in- Primer

teorema de

completitud de Gödel, al que por abreviar nos referiremos incompletitud

de Gödel

como Gran Teorema, es el teorema más importante de to-

dos los tiempos. Fuera del platonismo se acepta con cierta

resignación. Y si alguien se atreve a hojear sus interiorida-

2 Para el primer caso, el caso de G. Cantor, véase por ejemplo [27], [73], [19,

pag. 141]. Para el segundo: [47, pags. 235-236], [49, pag. 359], [35], [28] [75],

[55], [51]

12 —— El escenario platónico

des, enseguida comprende por qué esa no ha sido una buena

idea. Mucha gente conoce el Gran Teorema, pero solo de

o´ıdas. Lo que invariablemente significa que no conoce bien

el Gran Teorema, no porque sea incapaz de comprenderlo

sino porque ese teorema se suele presentar al gran público

Divulgación

de una forma enga˜

nosa, como en su momento veremos. Es

enga˜

nosa

un teorema intimidante que parece quedar fuera de la ju-

risdicción ordinaria de la ciencia. Nadie ha osado criticarlo,

aunque es posible hacerlo incluso con instrumentos clásicos

muy sencillos.

Casi lo mismo ocurre con la moderna teor´ıa matemática del

Cr´ıtica del

infinito

infinito, sus escasas cr´ıticas han sido más bien ingenuas y

las respuestas del infinitismo siempre fueron furibundas. El

G. Cantor

para´ıso infinitista creado por Cantor a finales del siglo XIX

Para´ıso de

Hilbert

e inaugurado por Hilbert3 a principios del XX, se ha convertido en una fortaleza inexpugnable que delimita y encierra el

escenario formal de las matemáticas contemporáneas. Pero

el infinito y la autorreferencia no solo comparten or´ıgenes,

éxitos, poder y seguidores, comparten también esterilidad

cient´ıfica porque ni el uno ni la otra han servido nunca pa-

ra conocer un sólo detalle del mundo f´ısico que las ciencias

experimentales tratan de explicar.

Ni el infinito ni la autorreferencia tienen mucho sentido fue-

3 Es muy conocida la cita atribuida a D. Hilbert, famoso entusiasta del infinito

matemático: ”[El infinito es] el fruto más admirable de la mente matemática

y, de hecho, uno de los más altos logros de los procesos intelectuales del

hombre. . . Nadie nos expulsará jamás del para´ıso que Cantor ha creado para

nosotros

Dos asuntos pendientes —— 13

ra del esencialismo platónico que los ampara. El platonismo,

a su vez, tampoco parece tener mucho sentido en la nueva

concepción de la mente que sugieren las neurociencias ca-

da vez con mayor claridad y detalle. En la sección siguien-

te haremos una breve cr´ıtica biológica del platonismo. Le

seguirá una reflexión, también breve y necesaria, sobre las

leyes de la lógica que fundamentan todas las ciencias y so-

bre los métodos de la ciencia. Las leyes de la lógica fueron Lógica como

fundamento de

establecidas como fundamento de todas las ciencias por otro las ciencias

griego: Aristóteles, un disc´ıpulo de Platón más naturalista Aristóteles

que platónico.4 Al revisar los métodos de la ciencia tendremos la ocasión de comprobar que existen limitaciones del

conocimiento cient´ıfico mucho más importantes que las es- L´ımites del

conocimiento

tablecidas por el Gran Teorema, aunque casi nadie hable de

ellas. Aristóteles fue también su descubridor.5

Las discusiones cient´ıficas, incluso las discusiones formales

sobre asuntos como el infinito o la autorreferencia, también

están expuestas a las miserias de la naturaleza humana. En

el caso de la ciencia son poco conocidas, pero son tan reales

y da˜

ninas como el resto de las miserias. Existe una cierta

imagen puritana de la actividad cient´ıfica que no se corres- Imagen purita-

na de la ciencia

ponde totalmente con los hechos. Es verdad que los métodos

de la ciencia, basados en la continua discusión y verificación

de los datos y de los argumentos, hacen dif´ıcil la superviven-

4 Los historiadores de la ciencia suelen considerar a Aristóteles como el primer

gran biólogo de la historia [92], [108], [71], [90] [105], etc.

5 [4]

14 —— El escenario platónico

cia de la corrupción y del fanatismo dentro de la comunidad

cient´ıfica, pero no son capaces de erradicarlos definitivamen-

te. La intensidad del fanatismo y de la corrupción es menor

en la ciencia que en otras áreas de la actividad humana, pero

ah´ı están también. Sin ellos ser´ıa imposible explicar que ha-

yamos llegado hasta donde hemos llegado en ciertos asuntos

Fanatismo

como el infinito y la autorreferencia. El fanatismo platónico,

platónico

como todos los fanatismos, tolera mal la cr´ıtica y se ensa˜

na

con los cr´ıticos.

Platonismo y biolog´ıa

Las grandes teor´ıas acerca del mundo se hicieron siempre

al margen de la biolog´ıa, probablemente porque el conoci-

miento biológico disponible no era el apropiado y porque

nosotros mismos formamos parte del objeto de estudio de

las ciencias biológicas. La biolog´ıa de calidad no fue posible

hasta la segunda mitad del siglo XX, cuando se conocieron

por fin las claves moleculares de los seres vivos. A partir de

entonces las ciencias de la vida entraron en una fase de cre-

cimiento explosivo que aún perdura. Pero esa es una historia

muy reciente. La biolog´ıa moderna no ha tenido tiempo de

impregnar ni a la filosof´ıa ni al resto de las ciencias. Los

Seres vivos

seres vivos siguen siendo objetos extra˜

nos incluso para la

objetos

extra˜

nos

f´ısica6. Pero son, somos, parte del mundo y cualquier teor´ıa que aspire a explicar el mundo tendrá que explicar a los seres vivos. En caso contrario no será una buena teor´ıa, o al

6 [104], [14] [79], [85], [87], [86]

Platonismo y biolog´ıa —— 15

menos no será una teor´ıa completa. Curiosamente fue un

filósofo ilustrado, Immanuel Kant, el que más cerca estuvo I. Kant

del concepto moderno de ser vivo,7 lo que significa que también se puede argumentar con acierto sobre la naturaleza de

los seres vivos sin entrar en sus detalles moleculares.

Dec´ıa Dobzhansky8 que en biolog´ıa nada tiene sentido si Dobzhansky no es bajo el prisma de la evolución. Se podr´ıa cambiar el

término ’evolución’ por ’reproducción’ y la s´ıntesis seguir´ıa

siendo muy apropiada.9 Y no solo porque la segunda es el motor de la primera. Es porque solo la reproducción puede

explicar la caracter´ıstica más notable de los seres vivos: la

de ser objetos extravagantes. Objetos con propiedades que Seres vivos

objetos extra-

no se pueden deducir de las leyes f´ısicas. Tener el pecho cu- vagantes

bierto de plumas rojas, o de plumas amarillas, o desplazarse

a saltos, o dejarse devorar por la pareja mientras se copula

con ella, son ejemplos de propiedades (y la lista ser´ıa inter-

minable) de los seres vivos que no se pueden explicar con la

sola ayuda de las leyes f´ısicas.

Somos extravagantes porque estamos sometidos a una ley

de rango superior a todas las leyes f´ısicas: la ley de la re-

producción: reprodúcete como puedas. As´ı es, el éxito en la

Reprodúcete

como puedas

7 Véase [59], secciones 65 y 66

8 [31]

9 Desde luego la evolución es un proceso natural y negarlo ser´ıa tan estúpido

como negar la fotos´ıntesis o el ciclo de Krebs. Otra cosa es la teor´ıa cient´ıfica que ha de explicar el proceso natural de la evolución. Como todas las teor´ıas

cient´ıficas, la de la evolución orgánica es una teor´ıa inacabada, abierta a

numerosos debates. Véase por ejemplo [109], [13], [115], [95], [103], [69], [33],

[94], [23], [53], [52], [102], [22] etc 16 —— El escenario platónico

reproducción depende de ciertas caracter´ısticas de los seres

vivos que con frecuencia no guardan relación con la eficacia

en el cumplimiento de las leyes f´ısicas sino con preferencias

arbitrarias como cantar, o bailar, o dar saltos, o tener co-

lores brillantes. Y no siempre es el caso que esa exhibición

estrambótica refleje la buena salud de los exhibicionistas.

También es cierto, por otra parte, que para reproducirse hay

que estar vivo. Lo que siempre supone el ejercicio de una

serie de habilidades funcionales en el ambiente particular

Nicho

ecológico

(nicho ecológico) en el que cada organismo se desenvuelve.

Pero por muy adaptado que se encuentre un ser vivo a su

medio natural, por muy cumplidor de las leyes f´ısicas que

sea, si no se reproduce, su adaptación y su excelencia f´ısica

desaparecerán para siempre con él. De modo que si para

reproducirse hay que trinar hasta morir, pues se trina hasta

morir. Somos extravagantes hasta donde las leyes f´ısicas lo

permiten, pero somos extravagantes.

Mientras la visión de los seres vivos como sistemas exquisita-

mente adaptados a su medio f´ısico es un tópico en la biolog´ıa

contemporánea (y una justificación para ciertas corrientes

Teor´ıa del

de pensamiento pseudocient´ıficas como la teor´ıa del dise˜

no

dise˜

no inte-

ligente

inteligente), su visión como objetos extravagantes resulta,

hasta donde yo sé, desconocida. Por más evidentes y llama-

tivas que resulten muchas de esas extravagancias, no hemos

ca´ıdo en la cuenta de que son extravagancias; caprichos ar-

bitrarios fijados por la reproducción y la evolución que no

se pueden derivar de las leyes f´ısicas. Somos, además, los

Platonismo y biolog´ıa —— 17

únicos objetos extravagantes en todo el universo conocido.

Más que el resultado de un dise˜

no inteligente (como prego-

nan los creacionistas) somos el resultado de una caprichosa Creacionistas

evolución acotada por las leyes f´ısicas.

Una de las últimas y más notables extravagancias apareci-

das en la biosfera es la conciencia que exhiben t´ımidamente Conciencia

algunos primates y de manera más clara la mayor´ıa de los

humanos. Estamos aún muy lejos de comprender el signifi-

cado biológico y evolutivo de la conciencia, si es que tiene

alguno. Disponemos de casi tantas teor´ıas como autores de-

dicados a su estudio.10 En todo caso, es probable que sea esa sensación consciente de individualidad subjetiva la que

nos ha hecho interpretar la representación neurosimbólica

del mundo (que enseguida explicaremos) de forma tan dife-

rente a como lo hacen el resto de los organismos. Me refie-

ro al platonismo, a la creencia de que las representaciones

Platonismo

simbólicas existen de forma independiente del cerebro que

las crea.

Probablemente sea un efecto secundario de la conciencia de

los propios s´ımbolos que hayamos acabado percibiéndolos

como si tuvieran vida propia. La conciencia de los s´ımbolos

nos ha permitido representar toda clase de mundos ima-

ginarios, incluyendo los mundos abstractos de las ciencias

formales. Nos permite también salirnos del tiempo presen-

te, hacer elaboraciones mentales sobre el pasado y sobre el

10 [12]

18 —— El escenario platónico

futuro. La conciencia del s´ımbolo y su generalización a mun-

dos imaginarios junto con el pensamiento recursivo debió de

influir en la concepción del platonismo, y en la mente de sus

seguidores contemporáneos.

Pero si hubiera que elegir una palabra clave para describir

Evolución

el universo, esa palabra ser´ıa, sin duda, evolución. Del Big-

Bang a los agujeros negros; de la bacteria al filósofo. Todo

Heráclito

cambia, todo fluye, como dijo Heráclito, otro presocrático.

La realidad trascendente e inmutable de Platón no es de

este mundo ni de ningún otro mundo conocido. Es una vi-

sión primitiva de la realidad, muy alejada de la realidad.

Pero también es una visión antropocéntrica basada en la

arrogante convicción de que es posible explicar el mundo sin

mirarlo, sin tocarlo. Solo hay que mirar en la mente, en la

Mundo tras-

conexión platónica con el mundo verdadero, con el mundo

cendente de las

Ideas

trascendente de las Ideas que de manera tan imperfecta se

refleja en la realidad f´ısica, qu´ımica y orgánica.

Tengo la impresión de que es exactamente al revés. Platón

Complejo vs

confunde imperfecto con complejo, y perfecto con simple.

imperfecto

Perfecto vs

Ve imperfección en la complejidad del mundo y perfección

simple

en su representación mental simplificada. El intenso siglo

de biolog´ıa que estamos viviendo nos permite ya entender

la funcionalidad biológica de esas representaciones simpli-

ficadas del mundo material. Imagine el lector una bola de

plomo rodando cuesta abajo hacia un precipicio final. La

bola caerá, no se detendrá en el último instante al percatar-

se del inminente peligro. Las bolas de plomo no se percatan

Platonismo y biolog´ıa —— 19

de nada, simplemente se mueven de acuerdo con las leyes

f´ısicas. Imagine ahora a un perro juguetón corriendo tras la

bola. A nadie le sorprenderá que el perro s´ı intente detener-

se y evitar la ca´ıda. El perro conoce las consecuencias de la

gravedad. Los seres vivos conocen todas las caracter´ısticas

del medio f´ısico que son relevantes para su supervivencia y

su reproducción. Más les vale, porque les va la vida en ello;

o el éxito reproductor, que viene a ser lo mismo en términos

genéticos.

Figura 2.1: El perro conoce las consecuencias de la gravedad.

La bola no.

Pero ¿cómo conocen? ¿Acaso tienen en su interior una repre-

sentación miniaturizada de cada objeto de su medio natural?

Imposible, porque el medio natural es esencialmente dinámi-

co y cambiante. Cuando un leopardo reconoce a una gacela

está haciendo uso de un conocimiento simbólico, esencialista,

platónico. No tiene un conocimiento concreto de cada gacela

Conocimiento

abstracto ani-

concreta, tiene la idea abstracta de gacela y sabe hacer un mal

uso apropiado de esa abstracción, como muy bien saben las

gacelas.

Los animales hemos seguido la estrategia de conocer el mun-

20 —— El escenario platónico

do para mantenernos y prosperar en él. Y conocemos el mun-

do mediante representaciones simbólicas y abstractas de sus

elementos más biológicamente significativos. Sin esas repre-

sentaciones, la vida animal ser´ıa imposible porque en ellas

están basadas nuestras estrategias de supervivencia y repro-

ducción. Necesitamos conocer el mundo para vivir en él y

para reproducirnos indefinidamente. Esa necesidad de co-

nocer es, pues, una de las claves que definen la naturaleza

animal. El esencialismo platónico tiene entonces una fácil y

pragmática explicación natural: más que en la realidad tras-

cendente de las Ideas, es en la realidad neuronal del cerebro

activo donde hay que buscar el origen de las ideas. De la

idea de gacela o de la idea de conjunto.

Reflejo

El reflejo simbólico es una representación neuronal interna

simbólico

del mundo externo que los animales elaboran a partir de

su propia acción y experiencia con ese mundo externo, y

Prueba y

donde es seguro que la estrategia de prueba y error y la imi-

error

tación desempe˜

nan un papel destacado.11 Sabemos ya que

la percepción y la cognición son procesos constructivos que

tienen lugar en diferentes etapas y en diferentes áreas del

cerebro, y que son finalmente ligados en un único resulta-

Binding

problem

do final (binding problem12). Las ideas se elaboran a partir Átomos del

conocimiento

de componentes abstractos, los átomos del conocimiento, de

modo que los mismos átomos se reutilizan una y otra vez

para componer diferentes ideas.

11 [60], [45], [96], [117]

12 [97], [25], [107], [26], [61]

Platonismo y biolog´ıa —— 21

Y no solo las ideas, también las percepciones sensoriales de

los objetos simbolizados se componen de esa forma atómi-

ca y abstracta, seguramente para filtrar la información tan

ruidosa y variable que nos llega del mundo f´ısico, y poder

as´ı identificar con garant´ıas los diferentes objetos biológica-

mente significativos.13 Es, por otra parte, mucho más eficiente y plausible que as´ı sea. Tener una representación simbólica

de cada objeto particular del medio f´ısico de un organismo

ser´ıa inconcebiblemente más complejo y costoso desde todos

los puntos de vista. Parece, pues, que las ideas y las sensa-

ciones se construyen componiéndolas a partir de las diferen-

tes unidades abstractas elementales registradas en diferentes

áreas del cerebro.

La importancia de la representación simbólica y abstracta

del mundo externo en el cerebro humano (y en el de otros

animales) se sospecha desde hace más de un siglo [57], pero hay que reconocer que ignoramos casi todos los detalles acerca del modo en el que esa representación se construye y en

la que es casi seguro que los genes desempe˜

nan, como ocu-

rre en casi todas las funciones biológicas, un papel director

(genético y epigenético14). Y al mismo tiempo, también hay que reconocer que nunca estuvimos tan cerca de conocer los

mecanismos neuronales profundos del propio conocimiento.

El reflejo simbólico interno del mundo externo, casi con to- Reflejo

simbólico

13 [120], [74]

14 [83], [82], [20]

22 —— El escenario platónico

da seguridad inscrito en redes neuronales dinámicas, es el

que realmente gu´ıa nuestra vida y el que consume la mayor

parte de la energ´ıa utilizada por el cerebro [91]. Irónicamen-te los procesos de reflexión profunda, como la resolución de

problemas matemáticos, apenas consumen recursos cerebra-

les. El reflejo simbólico podr´ıa ser, o formar parte de, lo que

Subconsciente

hasta ahora ven´ıamos llamando subconsciente. La novedad

que nos han tra´ıdo las neurociencias contemporáneas es su

enorme relevancia en el ejercicio diario de la vida [32], [7].

Aunque no nos lo parezca, es él quien elabora y determina

la inmensa mayor´ıa de nuestras respuestas a los est´ımulos

del mundo.

El reflejo simbólico ha de captar también la lógica natural

del mundo f´ısico, el modo peculiar en el que las cosas ocu-

rren. Sin ese conocimiento de la lógica del mundo, los seres

vivos no podr´ıamos dar las respuestas apropiadas a sus con-

tinuos desaf´ıos. Quizás sea esa la explicación de que nuestra

lógica, nuestras matemáticas15 sean capaces de explicar el mundo. Vienen de él, son configuradas por él. Pero lamentablemente la mayor´ıa de los matemáticos ignoran la biolog´ıa.

Y no solo los matemáticos, también la ignoran una buena

parte de los filósofos. Ignoran la necesidad biológica de una

correcta correspondencia entre los elementos del mundo f´ısi-

co externo y los elementos mentales de su reflejo simbólico.

Sin esa correspondencia la vida animal ser´ıa imposible. Y de

15 Los humanos y algunos primates podr´ıamos disponer de circuitos neuronales

espec´ıficos para tratar de cuestiones matemáticas [29], [30], [54]

Platonismo y matemáticas —— 23

esa correspondencia vienen el lenguaje, la lógica y la ciencia.

Incluso la teor´ıa de conjuntos.

El lector puede sacar sus propias conclusiones sobre de esta

breve cr´ıtica biológica del platonismo. Aunque también tiene

derecho a pensar que él no conoce mediante procesos neu-

ronales. Para los que creemos en la naturaleza orgánica de

nuestro cerebro y en sus habilidades perceptivas y cognitivas

modeladas durante más de 3600 millones de a˜

nos de evolu-

ción despiadada, hace ya mucho tiempo que el platonismo

dejó de tener sentido. Será desde esta perspectiva naturalis-

ta, no platónica, desde la que desarrollaremos nuestra cr´ıtica Cr´ıtica no

platónica

a la autorreferencia y al Gran Teorema.

Platonismo y matemáticas

Para el esencialismo platónico, el mundo f´ısico percibido por Esencialismo

platónico

los sentidos es solo un reflejo pálido e imperfecto de la reali-

dad trascendente de las Ideas. Los números y los conjuntos,

por ejemplo, tienen existencia propia más allá de la men-

te humana. La mente humana no crea los números ni los

conjuntos, contacta con ellos. Y lo hace mediante ciertas La mente

contacta con

facultades extraordinarias que solo nosotros, los humanos, los números

poseemos. Las dos figuras más emblemáticas del pensamien-

to matemático contemporáneo, el fundador de la moder-

na teor´ıa del infinito y coautor de la teor´ıa de conjuntos

Georg Cantor (1845-1918) y Kurt Gödel, el autor del Gran G. Cantor y K.

Gödel

Teorema (1906-1978), fueron dos apasionados militantes del

24 —— El escenario platónico

esencialismo platónico. Nos dejaron sobradas pruebas de esa

militancia. Por ejemplo, en 1885 Cantor escribe a su cole-

C. Hermite

ga Charles Hermite (1822-1901) en los siguientes términos

([73]; texto y referencia citada en [37]):

Dice usted [Hermite] muy bellamente en su carta

del 27 de Nov.: ✭ Los números (enteros) me parecen

constituir un mundo de realidades que existen más

allá de nosotros con el mismo carácter de absoluta

necesidad que las realidades de la naturaleza, cu-

yo conocimiento nos es dado por los sentidos, etc.✮

Perm´ıtame, sin embargo, el comentario de que en

mi opinión la realidad y absoluta legalidad de los

números enteros es mucho mayor que la del mundo

sensorial. El que as´ı sea, tiene una única y muy sim-

ple razón, a saber, que los números enteros existen

en el grado sumo de realidad, tanto separados como

en su totalidad actualmente infinita, en la forma de

ideas eternas in intellectu Divino.

Para Cantor conocer es recordar, despertar lo que duerme

en nuestro interior ([19], pág. 141):

[El conocimiento seguro] solo se puede obtener me-

diante conceptos e ideas que a lo sumo son sugeridos

por la experiencia externa, pero que en lo esencial

se forman por inducción y deducción internas, como

algo que de algún modo estaba ya en nosotros y solo

es despertado y tra´ıdo a la conciencia.

El platonismo teocéntrico de Cantor no solo situaba el infini-

to en la naturaleza de Dios, lo situaba también en la natura-

leza f´ısica: el universo habr´ıa de contener ℵ0 (léase alef cero,

Platonismo y matemáticas —— 25

alef es la primera letra del alfabeto hebreo16) mónadas ma- Mónadas y alefs

teriales y ℵ1 mónadas etéreas.17 Cantor no ten´ıa muy buena opinión ni de la f´ısica ni de la biolog´ıa de su época,18 que ya apuntaban hacia una naturaleza bastante más discreta.

Después del platonismo teocéntrico de Cantor, los objetos

matemáticos bebieron de otras fuentes existenciales. Parti-

cularmente del argumento de la indispensabilidad19 que nos propone:

Resulta obvio que las ciencias experimentales co-

Argumento de

la indispensa-

mo la f´ısica explican satisfactoriamente los fenóme-

bilidad

nos naturales y hacen pronósticos de alta precisión.

Para ello resulta indispensable la ayuda de las ma-

temáticas. Hemos de aceptar, en consecuencia, que

las matemáticas son verdaderas y por tanto que sus

entidades tienen que existir.

Este curioso argumento, que recuerda al de San Anselmo de Argumento de

San Anselmo

Canterbury sobre la existencia de Dios,20 ha recibido nume-16 ℵ0 es el primer número (cardinal) transfinito, el primer número mayor que

todos los números naturales. Es el número de elementos (cardinal) del con-

junto N de los números naturales. ℵ1 es otro cardinal mayor que ℵ0. Las

mónadas son los verdaderos átomos de la verdadera realidad, según Leibniz.

No tienen forma, ni comienzo, ni fin. Son indivisibles e individuales, ninguna

mónada es idéntica a otra. Están sometidas a un continuo proceso de cambio

hacia la perfección (appétitions) [62]

17 [18] referenciado en [27]

18 [27]

19 [88]

20 De acuerdo con este argumento es posible demostrar la existencia de Dios

a partir de la mera comprensión intelectual del concepto de Dios. Dios,

argumentaba San Anselmo, es aquello más allá de lo cual no puede pensarse

nada más perfecto. El incrédulo entiende esta definición, por tanto está en su

entendimiento. Pero lo más perfecto ha de existir no solo en el entendimiento,

26 —— El escenario platónico

rosas cr´ıticas,21 pero a pesar de ellas sigue siendo uno de los pilares del platonismo contemporáneo.

K. Gödel

Por su parte, K. Gödel, el autor del Gran Teorema, reco-

noció la importancia del platonismo en la gestación de sus

celebrados teoremas, aunque el suyo es un platonismo más

sutil:22 la matemática dispone de objetos cuya existencia nos viene dada junto a otros de naturaleza teórica e hipotética

que se introducen por razones de conveniencia explicativa.

Gödel compara los conjuntos con los objetos reales y los

axiomas matemáticos con las leyes fundamentales de la na-

turaleza ([47], págs. 325-326):

Sin embargo, también pueden concebirse las clases y

los conceptos como objetos reales, a saber, las clases

como ’pluralidades de cosas’ . . . y los conceptos co-

mo las propiedades y las relaciones de las cosas que

existen independientemente de nuestras definiciones

y construcciones. Me parece que la aceptación de ta-

les objetos es tan leg´ıtima como la aceptación de los

cuerpos f´ısicos y que hay tantas razones para creer

en la existencia de aquellos como en la de estos.

Salvo alguna t´ımida excepción, (por ejemplo [8], [37]) en las discusiones acerca de la naturaleza del conocimiento cient´ıfi-co y matemático nunca aparece la biolog´ıa evolucionista. Se

pretende conocer la naturaleza del conocimiento ignorando

ha de existir realmente porque en caso contrario no ser´ıa lo más perfecto ya

que le faltar´ıa la existencia real. Entonces aquello más allá de lo cual no

puede pensarse nada más perfecto ha de existir realmente; y es Dios

21 [113], [1], [2], [16]

22 Realismo matemático [36], [67], [68]

Las leyes de la lógica —— 27

la naturaleza y la historia del órgano que lo produce. No

parece una actitud muy prudente porque ese órgano lleva

inscrito el reflejo simbólico del mundo, incluyendo los fun-

damentos lógicos de su funcionamiento. Miles de billones de

organismos durante cientos de millones de a˜

nos lo han lleva-

do inscrito en sus redes neuronales. Gracias a él han podido

desenvolverse con éxito en un mundo complejo y dinámico,

pero también en un mundo sujeto a normas, a leyes com-

patibles con el ejercicio de la vida. Por pura necesidad fun-

cional esas leyes han tenido que ser captadas e inscritas en

el patrimonio genético de la biosfera y por tanto de la hu-

manidad, vanguardia racional de lo viviente. No parece que

pueda existir un sitio mejor donde buscar la naturaleza del

conocimiento matemático. Tal vez deber´ıamos dar ese paso

y dejar ya en paz a Platón.

Las leyes de la lógica

Todo apunta a que el mundo f´ısico es formalmente consis- Consistencia

del mundo

tente: está sujeto a normas invariables (leyes f´ısicas). Las f´ısico

cosas son lo que deben ser, lo que racionalmente se espera

que sean. No se conocen excepciones a esa lapidaria con-

clusión, como ser´ıan r´ıos fluyendo cuesta arriba, o volcanes

eructando sidra asturiana. Por razones de supervivencia y

reproducción, la vida se desenvuelve en armon´ıa con esa con-

sistencia legal. Y el lenguaje ordinario, surgido de nuestra

continua acción y experiencia con el mundo f´ısico, recoge

también la consistencia formal de sus leyes. La lógica del

lenguaje ordinario refleja la lógica natural del mundo f´ısico. Lógica

ordinaria y

lógica del

mundo

28 —— El escenario platónico

Como era de esperar, el razonamiento ordinario del hombre

está en perfecta sinton´ıa con la lógica de la naturaleza que

lo ha creado. Todos nuestros éxitos cient´ıficos y tecnológicos

avalan esa sinton´ıa. Parece razonable, pues, seguir confiando

en ella.

El razonamiento cient´ıfico y el razonamiento del lenguaje

ordinario comparten tres leyes fundamentales que, por las

razones que se acaban de dar, también deben compartir con

Leyes de la

el mundo f´ısico. Son las leyes fundamentales de la lógica:

lógica

la Ley de Identidad, la de Ley No Contradicción y la Ley

del Tercero Excluido. Aunque sólo las dos primeras son real-

mente necesarias. Como veremos en el tercer cap´ıtulo, en el

primer teorema de incompletitud de Gödel se encuentran la

lógica formal de un sistema abstracto y la lógica del lenguaje

ordinario. All´ı se analizará el encuentro desde la perspectiva

de la lógica de enunciados. Aqu´ı aclararemos algunos asun-

tos relacionados con los enunciados y con el razonamiento

ordinario asociado. Como se acaba de indicar, ambos com-

parten el mismo fundamento legal: las leyes de la lógica que

enseguida veremos.

Solo una parte del lenguaje ordinario intervendrá en las dis-

cusiones que siguen. Intervendrán solo las oraciones bien for-

madas desde el punto de vista ortográfico y sintáctico. Serán,

Oraciones

declarativas

además, oraciones declarativas. Es decir, oraciones que di-

cen algo acerca del mundo (acerca de lo que es el caso, que

L. Wittgens-

dir´ıa Wittgenstein), como por ejemplo que la hierba es ver-

tein

de, o que la Tierra gira alrededor del Sol. No se incluyen,

Las leyes de la lógica —— 29

pues, las oraciones interrogativas, imperativas, exclamativas

etc. Serán además oraciones susceptibles de ser verdaderas

o falsas. A estas oraciones declarativas susceptibles de ser

verdaderas o falsas las llamaremos sentencias. Las senten- Sentencias

cias serán los únicos objetos de nuestras discusiones a partir

del cap´ıtulo siguiente. Naturalmente una misma sentencia se

puede expresar con diferentes oraciones: la nieve es blanca;

el color de la nieve es blanco; blanco es el color de la nieve;

etc.

Podemos acotar aún más el tipo de objetos sobre los que va-

mos a discutir porque esos objetos serán siempre sentencias Sentencias

monádicas

monádicas: sentencias de un solo sujeto y de un solo predi-

cado. Es decir, sentencias del tipo:

El oro es metálico

(1)

Juan tiene miedo

(2)

El predicado del sujeto se entenderá como cualquier cosa

que se diga acerca del sujeto, sea verdadera o no. En muchos

casos el sujeto será, además, otra sentencia o un predicado

que se predica a s´ı mismo, como por ejemplo:

Esta sentencia tiene cinco palabras

(3)

La sentencia anterior tiene un millón de letras

(4)

Breve es breve

(5)

La primera sentencia parece verdadera, la segunda falsa. La

primera sentencia dice cosas se s´ı misma, dice que tiene cin-

co palabras. Es un ejemplo de sentencia autorreferente. La

tercera sentencia también es autorreferente, es un predicado

30 —— El escenario platónico

que se predica a s´ı mismo. Casi todas las sentencias de este

libro serán monádicas y autorreferentes.

Las sentencias suelen nombrarse escribiendo delante de ellas

su nombre y dos puntos. El nombre es casi siempre una letra.

Los ejemplos anteriores se escribir´ıan:

p : Esta sentencia tiene cinco palabras

(6)

q : La sentencia p tiene un millón de letras

(7)

r : Breve es breve

(8)

Y podr´ıamos decir que p y r son verdaderas mientras que q

es falsa. El nombre de la sentencia nos permite escribir las

sentencias autorreferentes de la siguiente manera:

p : p está escrita en chino

(9)

Piense ahora en el queso y en la palabra ’queso’. Nadie en

su sano juicio confundir´ıa la palabra con el exquisito objeto

que esa palabra designa. El queso se come, la palabra ’que-

so’ no. El queso está hecho de moléculas, la palabra ’queso’

Proposiciones

de letras.23 Las sentencias y las proposiciones están en la misma relación mutua que la que existe entre la palabra

’queso’ y el queso. Las sentencias denotan a las proposi-

ciones. Las proposiciones son como las ideas en s´ı mismas,

independientes del lenguaje (ordinario o formal) en el que

23 Es costumbre entrecomillar una palabra (o frase) cuando nos estamos re-

firiendo a la palabra (o frase) como tal palabra, no como el objeto al que

denota. Cuando hablamos del lenguaje utilizando el propio lenguaje decimos

que estamos haciendo metalenguaje.

Las leyes de la lógica —— 31

necesitamos expresarlas. Es mucho más dif´ıcil trabajar con

proposiciones que con sentencias, de hecho no sabemos muy

bien qué diablos son las proposiciones. Afortunadamente es-

te será el único párrafo del libro en el que aparezca la pala-

bra ’proposición’ Y ha aparecido por si alguien la echaba de

menos.

Estamos ya en condiciones de recordar las leyes de la lógica.

La Primera Ley o Principio de Identidad suele enunciarse Primera Ley

de la lógica

con frases como:

Una cosa es lo que es, y no es lo que no es

(10)

o con igualdades del tipo:

A = A

(11)

siendo A cualquier cosa. Pero, como ya se ha indicado, las

cosas que nos interesan aqu´ı son las sentencias. As´ı, si p es

una de esas sentencias, la Primera Ley se escribe:

p ⇒ p

(12)

que se lee: p implica p; o bien: si p entonces p. La implicación

anterior traslada el sentido de identidad al mundo de las sen-

tencias. Puesto que el consecuente de la implicación es igual

que su antecedente, la implicación siempre es verdadera. En

el lenguaje de la lógica dir´ıamos que esa implicación es una

tautolog´ıa (algo que siempre es verdad), es decir una ley.

Tautolog´ıa

Algunos ejemplos de aplicaciones de la primera ley ser´ıan:

32 —— El escenario platónico

Si pi es irracional entonces pi es irracional

Si los talibanes son ateos entonces los talibanes son ateos

Si Luna es sólida entonces la luna es sólida

En definitiva: si p entonces p, para cualquier sentencia p. Es

bastante razonable la primera ley de la lógica. Parece dif´ıcil

encontrar una ley más sencilla y asumible como fundamento

del conocimiento racional del mundo. La primera ley será un

instrumento esencial en nuestra cr´ıtica del Gran Teorema.

Tal como veremos en el siguiente cap´ıtulo, y por sorpren-

dente que pueda parecer, algunas sentencias muy famosos

en la historia del pensamiento verifican cosas como:

p ⇒ ¬p

(13)

¬p ⇒ p

(14)

que se lee: p implica no p; y: no p implica p. No es de ex-

tra˜

nar que una gran parte de las paradojas semánticas y

matemáticas tengan esa estructura. Como veremos, el Gran

Teorema deriva de una de ellas.

Segunda Ley

de la lógica

La Segunda Ley es el Principio de No Contradicción, que en

s´ımbolos se escribe:

¬(p ∧ ¬p)

(15)

y se lee: no es posible al mismo tiempo p y no-p (los s´ımbolos

lógicos ∧ y neg están por ’y’ y ’no’). No es posible al mismo

tiempo que algo sea el caso y que ese mismo algo no sea el

caso. De nuevo p es cualquiera de nuestras sentencias. Por

ejemplo:

Las leyes de la lógica —— 33

No es posible ser par y no ser par

No es posible ser blanco y no ser blanco

Mientras la Segunda Ley ha sido, y continua siendo, un

instrumento básico en la construcción del conocimiento ra-

cional del mundo, la Primera Ley parece no haber tenido

ningún papel expl´ıcito. Como dec´ıamos más arriba, aqu´ı s´ı lo

tendrá. Y será un papel protagonista.

Las leyes de la lógica se asumen como axiomas básicos en

todas las ciencias. Luego cada ciencia, o cada rama de una

ciencia, a˜

nade sus propios axiomas y definiciones. Pero ha-

ce falta algo más para poner en marcha la maquinaria de-

ductiva y poder obtener nuevos resultados. Hacen falta las

llamadas reglas de inferencia, que también tienen carácter Reglas de

inferencia

básico y universal. Ejemplos de reglas de inferencia (o reglas

de derivación):

Reglas básicas:

A ∨ B

A ∨ B

A ∧ B

A ∧ B

¬(A ∧ B)

A

A

B

A

B

A ⇒ ¬B

A ∨ B

Reglas básicas

de inferencia

A

¬¬A

¬(A ∨ B) ¬(A ∨ B) ¬(A ⇒ B)

etc.

¬¬A

A

¬A

¬B

A ∧ ¬B

Modus ponendus ponens (modo que afirmando afirma):

p ⇒ q

Modus

ponendus

p

ponens

q

34 —— El escenario platónico

Modus tollendus tollens (modo que negando niega):

Modus

p ⇒ q

tollendus

tollens

¬q

¬p

Modus tollendus ponens (modo que negando afirma):

Modus

p ∨ q

tollendus

ponens

¬p

q

Los métodos de la ciencia

La ciencia es única, pero existen al menos dos modos de

practicarla: el modo formal y el modo experimental. La ma-

yor´ıa de los cient´ıficos no usan ni el uno ni el otro de for-

ma exclusiva, sino más bien de una mezcla personal, con

diferentes dosis de cada uno de ellos (otra cosa es la for-

ma ’encorsetada’ y aburrida de presentar los resultados en

las publicaciones cient´ıficas, en las que parece que todo el

mundo hubiera seguido los mismos pasos [72]). Como veremos enseguida, el modo formal y el experimental, se usen

en las dosis que se usen, comparten una caracter´ıstica muy

Incertidumbre

fundamental

significativa: la incertidumbre de sus fundamentos. Esa in-

certidumbre marca los l´ımites del conocimiento cient´ıfico, y

lamentablemente lo hace all´ı donde las cosas se ponen más

interesantes. El gran publico desconoce esa servidumbre. Los

cient´ıficos suelen ignorarla. Y aqu´ı tenemos que recordarla.

Los métodos de la ciencia —— 35

Esa incertidumbre, de la que ya se hizo eco Aristóteles, [4] Aristóteles es mucho más inquietante que las restricciones derivadas del

Gran Teorema, aunque rara vez se hable de ellas.

En las ciencias formales, como las matemáticas, se persi-

gue demostrarlo todo, incluso si se ignora el significado de

lo que se está demostrando. Bertrand Russell dec´ıa que en B. Russell

matemáticas nunca sabemos de lo que estamos hablando, ni

si es verdad lo que estamos hablando [98, p. 959] [101]. Y

el f´ısico Richard Feynman manten´ıa que las matemáticas no R. Feynman

son una ciencia, [40, vol. 1] al menos no en el mismo sentido en el que lo son la f´ısica o la biolog´ıa. En cualquier caso el

objetivo de las matemáticas es demostrar lo que haya que

demostrar. Pero las demostraciones no se hacen solas. Para

demostrar A (sea lo que sea A) tendremos que apoyarnos

en B (que no será lo mismo que A); y para demostrar B ne-

cesitaremos hacer uso de C; y para probar C necesitaremos

D, y as´ı indefinidamente. De modo que si pretendiéramos

demostrarlo todo caer´ıamos en una regresión infinita24 de pruebas. La solución consiste en dejar sin demostración los

enunciados más básicos y demostrar todos los demás a par-

tir de ellos. Los enunciados que se aceptan sin demostración

reciben el nombre de axiomas. Cuanto más autoevidentes y Axiomas

menos numerosos sean los axiomas de una ciencia formal,

mejor fundada estará esa ciencia.

24 Es la regresión infinita de la que habla Aristóteles en sus Tratados de Lógica

[4]

36 —— El escenario platónico

Axiomas

...