El Teorema de Gödel por A León - muestra HTML

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Teorema

Teorema

Teorema

Figura 2.2: Matemática no platónica extrayendo teoremas de

un grupo inicial de axiomas (RI: Reglas de inferencia).

La costumbre era elegir un peque˜

no número de axiomas, ca-

si siempre autoevidentes. Axiomas del tipo: por dos puntos

sólo pasa una recta25. Luego dejaron de ser autoevidentes y hoy podemos encontrar casi cualquier cosa en los fundamentos axiomáticos de las ciencias matemáticas. Aplicando

las reglas de inferencia a los axiomas y definiciones previas

podemos obtener nuevos enunciados (teoremas); y aplicando

las mismas reglas a los nuevos teoremas y a los viejos axio-

mas y definiciones, volvemos a obtener nuevos teoremas; a

los que de nuevo podemos aplicar las reglas de inferencia.

El proceso parece no tener fin, aunque se va ralentizando

a medida que crece el número de teoremas demostrados.

En cierto modo se podr´ıa decir que todo el conocimiento

de las ciencias formales está contenido en sus fundamentos

axiomáticos, lo que no deja de ser intrigante. Esta forma de

Método

extraer el contenido de los axiomas es el método formal o

formal

método axiomático deductivo.

25 Primer axioma de la geometr´ıa de Euclides

Los métodos de la ciencia —— 37

En el caso de las ciencias experimentales las cosas son algo

diferentes, aunque también aqu´ı es necesario admitir enun-

ciados que no se demuestran. Ahora no se llaman axiomas

sino principios o leyes fundamentales. En general no son Leyes funda-

mentales

autoevidentes, son generalizaciones inductivas, conclusiones

generales obtenidas a partir de observaciones particulares.

Cuando observamos atentamente la naturaleza descubrimos

regularidades y suponemos que esas regularidades son las

leyes básicas que gobiernan la evolución del mundo.

El primer paso en el desarrollo de cada una de las ciencias ex- Método

experimental

perimentales es precisamente establecer, por esa v´ıa induc-

tiva, sus correspondientes leyes fundamentales. Luego pode-

mos aplicar las leyes de la lógica y las reglas de inferencia a

esas leyes fundamentales y obtener nuevos resultados, pero

ahora tendremos que contrastarlos observando si realmente

se cumplen en la naturaleza. Salvo en algunas ramas de la

f´ısica, en el resto de las ciencias experimentales casi todo el

trabajo es experimental e inductivo, la fase deductiva es to-

dav´ıa muy pobre. Más pobre cuanto más complejos son los

objetos estudiados. Los cient´ıficos suelen llamara ciencias Ciencias duras

y blandas

duras a las que, como algunas ramas la f´ısica, están muy

formalizadas (’matematizadas’), y ciencias blandas al resto.

El conocimiento cient´ıfico se construye a partir de leyes fun-

damentales que han de quedar irremediablemente sin expli-

cación. Los humanos nunca podremos explicarlo todo.26 La 26 Tal vez sea imposible explicar el universo desde dentro del universo

38 —— El escenario platónico

incertidumbre del conocimiento inductivo la explicaba Ber-

trand Russell con una metáfora que se hizo muy famosa, la

Metáfora de

los cerditos

metáfora de los cerditos.27 Los inocentes animales viv´ıan fe-lices en la granja al cuidado de su atento granjero. Todos los

d´ıas lo mismo: les limpian la pocilga, les dan de comer, les

dan de beber, corretean... De sus observaciones particulares

y diarias sacaron la conclusión general de que la vida era

y ser´ıa siempre as´ı. Y as´ı fue, hasta que llegó el d´ıa de la

matanza y acabaron rellenando sus propias tripas. Pero los

humanos somos, en general, más inteligentes que los cerditos

y hemos acabado descubriendo que conviene ser prudentes a

la hora de sacar conclusiones. Hemos descubierto que tam-

bién para nosotros podr´ıa haber un d´ıa de la matanza.

Nuestra ciencia explica el mundo de forma aceptable, pe-

ro sólo hasta esos supuestos iniciales que constituyen las

leyes fundamentales de la ciencia. La experimentación con-

firma una y otra vez esas leyes, pero no las demuestra. Si

lográsemos demostrar una de ellas ser´ıa a expensas de otros

supuestos aún más básicos que tendr´ıamos que tomar como

nuevas leyes fundamentales. Algunos cient´ıficos parecen ig-

norar esta servidumbre formal de la ciencia y transmiten la

impresión de que la ciencia es mucho más de lo que real-

L´ımites del

mente es. Parece que no podemos ir más allá de los l´ımites

conocimiento

cient´ıfico

marcados por las leyes fundamentales. Lo que no deja de ser

frustrante porque es precisamente ah´ı donde se plantean las

preguntas más interesantes. Valdrá la pena dedicarle unos

27 En realidad eran pollitos [99, p. 31].

Los métodos de la ciencia —— 39

minutos a este asunto. Será un sencillo ejercicio seguido de

una peque˜

na provocación.

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Consideremos la Primera Ley de