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Antonio León

El fin del infinito

Selección de argumentos sobre el infinito matemático

Contra el dogmatismo y la intolerancia

Antonio León

El fin del infinito

Selección de argumentos sobre el infinito matemático

Primera edicióon.

Interciencia, Salamanca. 2013

Impreso en Espa˜

na / Printed in Spain

Printed by Bubok Publishing S.L.

INTERCIENCIA

Registro legal S.C. Cod. 1401099791982

Todos los derechos reservados. Ninguna parte de este libro se puede reproducir, almacenar o

transmitir en forma alguna sin el correspondiente permiso del propietario de los derechos de copia.

Índice general

1. Introducci´

on

1

2. Convenciones

5

Parte I: El escenario infinitista

3 El infinito actual

6

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Infinito actual y potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

El axioma del infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Cardinales y ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

4. Reinterpretaci´

on de las paradojas de la reflexividad

17

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

¿Paradojas o contradicciones? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

5. Extensi´

on de la Paradoja de Cantor

23

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

La paradoja de Cantor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Una extensi´

on de la Paradoja de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Parte II: Argumentos

6 El siguiente racional

27

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Discusi´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

7. La l´

ampara de Thomson

33

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

La l´

ampara de Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

La m´

aquina de contar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

8. Revisi´

on del argumento de Cantor de 1874

41

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Argumento de Cantor de 1874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Versi´

on racional del argumento de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Una variante del argumento de Cantor de 1874 . . . . . . . . . . . . . . . .

46

9. Intercambios num´

ericos

51

ω -Intercambios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Argumento de la supertarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Argumento Modus Tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

La alternativa del infinito potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

10.La diagonal de Cantor

55

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

iii

iv —— Índice general

Teorema del n-´

esimo decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Cantor contra Cantor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Antidiagonales racionales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Un nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

11.No tan racionales

63

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Una partici´

on al modo de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Discusi´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

12.Particiones no contables

69

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

La prueba de Cantor de 1885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Particiones en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

13.Cajas y conjuntos

75

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

Vaciando cajas y conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

Capturando una falacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Magia infinitista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

14.Una fuente irracional de n´

umeros racionales

81

umeros n-expofactoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Una fuente irracional de n´

umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

Discusi´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Ep´ılogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

15.Substracci´

on de cardinales

91

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

Problemas con la sustracci´

on de cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

El argumento de Faticoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

16.Alef-cero

97

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

El menor cardinal transfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

17.Singularidades aritm´

eticas de ℵo

101

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

¿Es ℵo un n´

umero primo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Alef-cero y la potencia del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

18.Reinterpretaci´

on del teorema de la reordenaci´

on de Riemann

111

Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Discusi´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

19.Inconsistencia de los conjuntos anidados

113

Teorema de la intersecci´

on vac´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Inconsistencia de los conjuntos anidados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

20.Dicotom´ıas de Zen´

on

119

Definiciones introductorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Dicotom´ıa II de Zen´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Dicotom´ıa I de Zen´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Conclusion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

21.La m´

aquina de Hilbert

125

El Hotel de Hilbert

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

La contradicci´

on de la m´

aquina de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Discusi´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Índice general —— v

22.Curvas de Jordan infinitas

131

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Partici´

on infinita de una curva de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

23.Infinito uno a uno

135

El sistema de numeraci´

on unario

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

La tabla monaria de los n´

umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

24.Temporizando el infinito

143

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Definiciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Una definici´

on conflictiva

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

25.Divisibilidad del espaciotiempo

147

El menor ordinal infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Dicotom´ıas del espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Divisibilidad del espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Apéndices

A. El problema del cambio

155

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

El problema del cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Un modelo discreto: aut´

omatas celulares

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

B. Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos

163

Introducci´

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Una definici´

on natural de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Conjuntos y n´

umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Conjuntos potencialmente infinitos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

C. Platonismo y biolog´ıa

173

Los seres vivos como objetos extravagantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Conocimiento abstracto y biolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Referencias

176

´

Indice alfab´

etico

187

vi

1.-Introducción

Algunos de los problemas más relevantes de la filosof´ıa contemporánea fue-

ron ya planteados por los filósofos presocráticos en el siglo VII a.C. (en parte

quizá sugeridos o directamente tomados de los precedentes culturales desarro-

lladas en las culturas neol´ıticas fluviales.1) Entre esos problemas, hay tres que merecen especial consideración: el problema del cambio, el infinito, y la autorreferencia. El primero de ellos es sin duda el más dif´ıcil, y al mismo tiempo

el más relevante, de los problemas planteados por el hombre. Resulta por eso

sorprendente la poca atención que se presta en la actualidad a ese fascinante

problema, especialmente si se la compara con la atención prestada a los otros

dos.

Después de más de veinte siete siglos, el problema del cambio sigue sin resol-

verse. A pesar de su aparente simplicidad, nadie ha sido capaz de explicar,

por ejemplo, cómo se realiza un simple cambio de posición. La f´ısica, la cien-

cia del cambio (la ciencia de la sucesión regular de eventos, como Maxwell la

llamó [127, pág. 98]) parece haber olvidado su problema más fundamental. A

su vez, algunos filósofos como Hegel2 defendieron que el cambio es un concepto

inconsistente; mientras que otros, como McTaggart, llegaron a la misma con-

clusión que Parménides [147] sobre la imposibilidad de cambio [132]. Quizás la (aparente) insolubilidad del problema del cambio tenga que ver con el continuum espaciotiempo donde todas las soluciones han sido buscadas. Como se

muestra en el Apéndice A, el problema del cambio podr´ıa encontrar una solu-

ción en el marco de un espaciotiempo discreto.

Mientras que el cambio es una caracter´ıstica evidente de nuestro universo en

continua evolución, tanto el infinito como la autorreferencia son nociones teóri-

cas, sin relación aparente con el mundo natural. Cantor y Gödel (los pr´ınci-

pes del infinito y la autorreferencia respectivamente) fueron dos entusiastas

platónicos de escasa devoción a las ciencias naturales y de enorme influencia

en las matemáticas contemporáneas.3 Para ilustrar las profundas convicciones

teoplatónicas de Cantor, recordemos algunas de sus palabras:

. . . en mi opinión la realidad y absoluta legalidad de los números enteros

1[22], [169], [144], [183]

2[96], [98], [133], [146], [158], [196]

3Para el caso de Cantor véase [57], [134], [43, pag. 141]; para el de Gödel [81, pags. 235-236],

[83, pag. 359], [73], [59] [140], [100], [85]

1

2 —— Introducción

es mucho mayor que la del mundo sensorial. El que as´ı sea, tiene una

única y muy simple razón, a saber, que los números enteros existen en el

grado sumo de realidad, tanto separados como en su totalidad actualmente

infinita, en la forma de ideas eternas in Intellectus Divinus. ([134]; citado

en [76])

. . . yo solo soy un instrumento al servicio del alt´ısimo, un instrumento que

seguirá actuando mucho después de m´ı, de la misma forma que ya lo hizo

antes hace miles de a˜

nos con Euclides y Arqu´ımedes. . . . ([42, pp 104-105])

. . . No puedo referirme a ellos [los átomos] como existentes, ya sea en con-

cepto o en realidad, no importa cuántas cosas hasta cierto punto útiles se

hayan logrado mediante esa ficción. ([41, p 78], traducción inglesa [34]) Veintisiete siglos de debates no fueron suficientes para probar la consistencia

(o la inconsistencia) de la hipótesis del infinito actual, que finalmente tuvo que

ser legitimada por la v´ıa expeditiva de los axiomas.4 Las matemáticas contem-

poráneas están fundadas en la creencia de que los conjuntos infinitos existen

como totalidades completas.5

La teor´ıa de conjuntos es una teor´ıa estrictamente infinitista, una teor´ıa basada

en, e inspirada por, la hipótesis del infinito actual. Para Georg Cantor, uno de

sus más relevantes fundadores, el infinito actual no era una simple hipótesis sino

una firme convicción platónica.6 La teor´ıa de conjuntos contiene, sin embargo,

los instrumentos apropiados para poner en cuestión la consistencia formal de

la hipótesis del infinito actual. Aunque hasta ahora nunca han sido utilizados

con esas intenciones cr´ıticas. Como veremos aqu´ı, ese es el caso de ω, el menor

de los ordinales infinitos, y de las sucesiones y los conjuntos ω−ordenados. En

este libro haremos un uso extensivo de ellos.

La auto-referencia en el lenguaje formal y coloquial es también una noción

teórica sobre la que no hay acuerdo general.7 Las paradojas de la autorrefe-

rencia han sido y siguen siendo una fuente interminable de discusiones. Una

de esas paradojas, la paradoja del mentiroso,8 conduce (v´ıa Paradoja de Ri-

chard, como el propio Gödel reconoció [82, p. 56]) al célebre primer teorema

de incompletitud de Gödel. Muchos lógicos lo consideran como el teorema más

importante de todos los tiempos. Desde nuestra perspectiva de las ciencias na-

turales eso suena algo exagerado.

Por decirlo en pocas palabras, heredamos de los presocráticos, entre otras cosas,

un desaf´ıo prometedor (el problema del cambio) y dos conceptos cuestionables

(la autorreferencia y el infinito actual). Con el paso del tiempo hemos ido ol-

4Axioma del Infinito en las modernas teor´ıas de conjunto, que, en pocas palabras, establece la

existencia de un conjunto infinito numerable.

5Por ejemplo, la lista ordenada de los números naturales existir´ıa como una totalidad completa

a pesar de que ningún último número la complete.

6Tan firme como una roca en las propias palabras de Cantor (carta de Cantor a Heman, 21

de Junio de 1888)

7Además de lenguaje y metalenguaje (lenguaje sobre el lenguaje) tendr´ıamos también auto-

lenguaje, el lenguaje hablando autónomamente de s´ı mismo.

8En términos informales: Esta frase es falsa.

Introducción —— 3

vidando el desaf´ıo y convirtiendo al infinito y a la autorreferencia en pilares

fundamentales e incuestionables de la lógica y de las matemáticas contem-

poráneas. No todo el mundo está de acuerdo con esa elección, aunque la cr´ıtica

militante es casi inexistente. Este libro está principalmente dedicado a poner

en cuestión el más molesto de esos conceptos: el infinito actual.

Debemos recordar en este momento que la ciencia es excesivamente autoreve-

rente y escasamente autocr´ıtica. Poner las convicciones y los intereses persona-

les en frente del conocimiento objetivo de la realidad resulta más frecuente de

lo que se podr´ıa esperar. En esas condiciones, no es fácil poner en cuestión un

supuesto fundamental bien asentado, incluso si ese supuesto es sospechoso de

ser inconsistente. En mi opinión el Axioma del Infinito es uno de esos supuestos

fundacionales inconsistentes.

Las consecuencias de las matemáticas infinitistas son desastrosas porque pro-

mueven un modelo analógico, y por tanto continuo, del mundo f´ısico que

está claramente en conflicto con la naturaleza digital revelada hasta ahora

por todas las observaciones f´ısicas: materia ordinaria, part´ıculas elementales,

energ´ıa, cargas eléctricas y no eléctricas, parecen ser todas ellas entidades dis-

cretas con m´ınimos indivisibles. Es sorprendente la guerra de los f´ısicos contra

los infinitos. Pagan un alto precio en la forma de interminables y tediosos

cálculos para conseguir librarse de los infinitos. Mientras que, por otra parte,

no dedican ni un solo minuto de su tiempo a poner en cuestión la consistencia

formal de la hipótesis del infinito actual.

Gracias a la supuesta existencia del infinito actual, las ciencias experimentales

se ven obligadas a explicar un realidad que parece ser esencialmente discre-

ta por medio de matemáticas indiscretas. Una tarea que podr´ıa ser imposible

en ciertos niveles básicos donde la discreción resulta esencial, como es el caso

del nivel cuántico. La tragedia del infinito es que no hemos desarrollado unas

matemáticas discretas adecuadas para explicar un mundo que parece ser esen-

cialmente discreto. Incluso las matemáticas discretas que hemos desarrollado

se han desarrollado en términos de matemáticas indiscretas. Aparte de ciertas

aplicaciones particulares, las matemáticas discretas suelen interpretarse como

meras aproximaciones del verdadero mundo continuo de las matemáticas infi-

nitistas. El problema es que no parece existir ningún mundo continuo.

En cualquier caso, la hipótesis del infinito actual es sólo una hipótesis, y uno

tiene el derecho y el deber de ponerla en cuestión. Ese es el objetivo princi-

pal de este libro. Una colección de argumentos cr´ıticos sobre la hipótesis del

infinito actual desarrollados durante los últimos dieciocho a˜

nos. Cada cap´ıtulo

consta de un argumento completo e independiente, por lo que pueden ser le´ıdos

en cualquier orden.9 Incluye también tres apéndices, el primero trata sobre el

problema del cambio para ilustrar las consecuencias de asumir la existencia del

continuum espaciotiempo. El segundo introduce una alternativa no platónica

9Obviamente, la independencia de los cap´ıtulos tiene un coste narrativo en términos de un

excesivo número de repeticiones en el texto, por las que pido disculpas.

4 —— Introducción

a las actuales teor´ıas de conjuntos. El tercero es una breve cr´ıtica del esencia-

lismo platónico (la cuna del infinito actual) desde la perspectiva de la biolog´ıa

contemporánea.

Aunque las discusiones sobre el infinito matemático pueden parecer intimidan-

tes al lector no especializado, este libro es cualquier cosa menos intimidante.

Es un libro de ciencia básica. La ciencia que se aprende y se ense˜

na en el bachi-

llerato y primeros cursos de la Universidad. El problema es que se aprende y se

ense˜

na como una especie de catecismo libre de toda cr´ıtica. La ciencia básica

raramente se pone en tela de juicio porque los cient´ıficos trabajan algunos pa-

sos más allá. Pero la ciencia básica también debe ser, al menos periódicamente,

cuestionada. Como ya se ha indicado, aqu´ı cuestionamos una de sus hipótesis

básicas, la hipótesis del infinito actual.

En la mayor´ıa de los cap´ıtulos, el infinito en cuestión será el infinito numerable

(el más peque˜

no de los infinitos10) subsumido en el Axioma del Infinito. Pero

también el infinito que legitima las sucesiones de infinitos crecientes11. Por lo tanto, demostrar la inconsistencia del menor de los infinitos implica la invali-dación de todos los demás.

Existe un acuerdo general en que una contradicción es suficiente para demostrar

la inconsistencia de la hipótesis de la que se deducen los resultados contradicto-

rios. Excepto en el caso del infinito actual. Y esto no es una broma: en palabras

de Cantor, algunas totalidades infinitas son inconsistentes debido a su excesiva

infinitud [34]. Una razón adicional para tratar exclusivamente con el menor de los infinitos.

10El infinito del conjunto de los números naturales.

11La sucesión de los alefs: ℵo, ℵ1, ℵ2 . . . , y la de las potencias ℵo, 2ℵo , 22ℵo . . .