Geometría Divertida por Humberto R. Méndez B. - muestra HTML

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Nota: Sea un triángulo equiángulo, rectángulo, acutángulo o obtusángulo, la suma de todos sus ángulos es igual a 180 grados.

 

El perímetro de un triángulo: la palabra perímetro, es griega, y proviene de peri, que significa alrededor, en torno, y de metron, que significa medida; por lo cual, el perímetro de un triangulo no es mas que la relimitación de su contorno, la medida de la parte de afuera del mismo.

Para hallar el perímetro se suman las tres partes, y ya se tiene su medida perimetral. Su formula es P= L+L+L

 

 

fórmulas

Triángulo escaleno

 

El área de un triángulo: La palabra área, es que usaban los latinos para designar el espacio de tierra que está comprendida entre ciertos límites. Entonces el área de un triángulo es la cantidad que se necesita para rellenar un triángulo. Para hallar el área del triángulo se multiplica la base por la altura, y el producto se divide por dos.

La fórmula del área es: a=1/2 (b/h).

Aunque en latín, la palabra alto, altura, proviene de altus, en geometría se designa la altura con una (h), y creemos que porque en francés, alto se escribe  (haut)

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Como las medidas que usamos son del sistema métrico decimal, y estas notas son también históricas, para conocer sobre este sistema de medir, recomendamos la lectura de la novela de Julio Verne: Aventura de tres Rusos y tres Ingleses en el África Austral.

Aunque se haya dicho muchas veces, una vez más no sobre: por orden de la Convención Francesa, los astrónomos Pierre Median y Jean Bastite Pelambre, midieron el meridiano que va de Dunkerque a Barcelona, y ésta medida es la base de nuestro sistema de medición; pero cuando hablamos de millas, jardas, y pies y pulgadas, nos estamos refiriendo al sistema métrico ingles.

Como ya tenemos el conocimiento de la recta, las paralelas, los ángulos y los triángulos; es decir, tenemos las herramientas necesarias para enfrentarnos con nuestros primeros teoremas, y estos son: el de Thales, y el de Pitágoras

Es necesario saber que Thales de Mileto, es el más antiguo de los filósofos griegos presocráticos, y que vivió entre los años 640 y el 544 antes de Cristo. De él se dice que escribió dos tratados de astronomía: “Del regreso del sol de un trópico a otro”, y “Del equinoccio”. Para Pánfilo, Thales aprendió la Geometría de los  egipcios, descubrió que el triangulo inscrito en un semicírculo es un triangulo rectángulo. También se le atribuye haber descubierto el triangulo escaleno, y que llegó a medir la altura de las pirámides de Egipto, por la sobra que proyectaban.

Según el historiador griego Heródoto, Thales predijo el eclipse de sol ocurrido el 28 de mayo del año 585 A.C. También se le tiene como el creador de la filosofía natural, al afirmar que el agua es el principio de todas las cosas. Es tenido como uno de los 7 sabios de Grecia, y es que nos va a decir como se demuestra nuestro primer teorema. 

 

Es bueno saber que la palabra teorema, es una palabra griega, y que significa examinar con la vista, contemplar. Un teorema consta de dos partes. Primero es la hipótesis, que es lo que suponemos como verdad; y la segunda parte, la tesis, o la conclusión, que es la demostración que se hace.

 

El teorema de Thales, nos habla de la proporcionalidad, y se enuncia de esta manera:Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes”.

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Con el trazado de la línea A, la cual es paralela con D, se ha obtenido un triángulo semejante al existente, que era un triángulo recto.

El teorema de Thales, nos habla de la proporcionalidad, y se enuncia de esta manera diciendo: “Una recta paralela a un lado cualquiera de un triángulo, determina en los  otros dos lados segmentos proporcionales” 

 

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Cuando observamos el triángulo original, formado por los segmentos de rectas A, B, C, y luego trazamos la recta paralela a B C, que es B” C”, como se muestra en la gráfica, se ha de notar  que se ha creado un segundo triangulo. En el enunciado de la proporcionalidad, no se dice que los triángulos sean iguales, semejantes o congruentes, se ha dicho que son proporcionales.

El teorema de Pitágoras: Es necesario saber que quien le dio el nombre a éste teorema fue el filósofo y matemático griego Pitágoras, que vivió entre los años 580 y 500 A.C., y que nació en la isla de  Samos. Pitágoras fundó una especie de sociedad secreta y religiosa, en cuya secta sus seguidores debían observar una moral elevada. Sus seguidores creían en la trasmigración del alma, idea que seguramente aprendieron de los egipcios. En las enseñanzas pitagóricas, los números, los astros y las esferas tenían almas.

Pitágoras fue el primer filósofo en darle valor especulativo al pensamiento filosófico. Aporte que hizo fue grande en el campo de las Matemáticas, la Astronomía y la Geometría. La tabla de multiplicar es uno de sus aportes.

Pitágoras murió en Trotona, donde fundó una escuela después de regresar de un viaje que hizo a Egipto. En éste momento vamos a estudiar su teorema, el cual se enuncia diciendo: “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los otros dos catetos”

Antes de entrar al teorema, debemos saber que hipotenusa, es el lado opuesto al ángulo recto en el triángulo rectángulo, y que es una palabra griega que significa tender por debajo. Cateto, que el nombre que tienen los lados opuesto a la hipotenusa, también es una palabra griega, y significa de arriba abajo, y es la palabra con que los griegos designaban a la plomada de albañil.

He aquí un la gráfica del teorema:

 

Triángulo abc

 

En ésta gráfica, la suma del cuadrado a y de b, da como resultado el cuadrado de c; por lo cual el cuadrado de c es igual a la suma del cuadrado de a y de b.

Por medio del teorema de Pitágoras podemos determinar cuál es la medida de la hipotenusa si sabemos cuál es la medida de los dos catetos, como también se puede determinar cuál es la medida de un cateto se tenemos la medida de la hipotenusa y de uno de los catetos.

 

El perímetro y el área de un cuadrado:

1. El cuadrado, nos dice el diccionarios, es una figura cuadrangular, y el latín, cuadrangular es que tiene cuatro ángulos. Recordemos que el rectángulo, el trapecio, el rombo y el paralelogramo; a todos estos cuadriláteros se les encuentra el perímetro, sumando la media de cada uno de sus lados.

La fórmula para halla su perímetro es: P=L+L+L+L.

       

Cuadrado 

 

Para hallar el área de este cuadrado, se usa la formula: a=b x h , si uno de sus lados mide 6 cm, se multiplica el 6x6=36. Por lo cual es necesario 36 centímetros para cubrir un cuadrado que mida 6 centímetros por cada uno de sus lados.

2. El trapecio: la palabra trapecio es griega, y significa pequeña mesa. El trapecio es una figura geométrica cuadrilátera convexa, o sea, salida hacia los exteriores, donde dos de sus lados son congruentes y sus otros dos lados pueden ser desiguales entre sí.

Trapecio escaleno

Trapecio escaleno

 

Esta es la fórmula para hallar el área del trapecio: a= (b+d) x h.

Un trapecio que su base b mida 7 centímetros, y su base d mida 12 centímetros y su lado a es de 10 centímetros, con una altura de 9 centímetros, esto es un trapecio escaleno como en la figura de arriba. Procedemos a sumar 12+7, multiplicado por 9=84 dividido por 2=42 centímetros de área.

3. El paralelogramo, es  que tiene sus lados convexos paralelos. Su área se encuentra, como en el cuadrado, multiplicando su base por la altura: a=b x h.

 

paralelogramo

 

4. El rombo: La palabra rombo significa losa, mosaico, y su área se encuentra por el producto de su base multiplicado por la altura. También se encuentra multiplicando sus dos diagonales y dividiendo por dos. La palabra que hemos usado como diagonal es griega, y es la línea recta que va de un ángulo a otro en un polígono; el polígono es la porción del plano que está limitada por líneas rectas.

 

 

dibujo

Para el área de éste rombo procedemos de esta manera: a= 30 x 16 Dividido 2= 240 centímetros.

El circulo: El nombre del circulo proviene del latín circus, que significa aro, anillo; para nosotros, el circulo es una superficie plana, limitada por una curva, donde todos sus puntos están a igual distancia de un punto fijo en interior llamado centro. En el círculo no hablamos de perímetro, sino de circunferencia, lo que significa dar la vuelta, tornar. La circunferencia se obtiene al multiplicar el diámetro por el phi, que es 3.1416. El diámetro es el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y que necesariamente pasa por el centro. El diámetro tiene dos veces la medida del radio.

 

 

 

 

Antes de entrar a trabajar con la circunferencia, es necesario que dominemos este vocabulario mínimo:

 

  • Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
  • Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
  • Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro); diámetro significa: medir con el metro.
  • Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros)
  • Recta Secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
  • Recta Tangente o simplemente Tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
  • Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;
  • Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
  • Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

 

Esta es la fórmula para hallar la circunferencia: C=ph x d.

Si el diámetro de la circunferencia es 14, al multiplicarlo por 3.1416=43.9

 

 

calcular la circunferencia

 

Esta es la fórmula del área del círculo, que es ph por radio al cuadrado: A=Ph x r2.  El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Si el radio de este círculo es 7, elevo el 7 al cuadrado, que es 49 y lo multiplico por 3.1416, es igual a: 153.9.

 

Circulo

Si te pregunta por qué es necesario multiplicarlo por 3.1416, te puedo decir que es una muy buena pregunta. Te puedo decir que el 3.1416 es un número irracional, y fue usado por Pitágoras al notar la relación que hay entre este número y la diagonal de un cuadrado o el diámetro de un círculo. Recuerdas que un número irracional, es el número que no puede ser expresado como una fracción.

Y ya que estamos en el círculo, veamos los ángulos central e inscrito en una circunferencia.

Ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.

ángulo central

Ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia.

Según Euclides, e n una circunferencia, el ángulo cuyo vértice está en el centro es el doble del ángulo cuyo vértice está en la circunferencia cuando los rayos que forman el ángulo cortan a la circunferencia en los mismos dos puntos.

inscrito

En la figura de abajo se ha trazado un arco, si del centro de la circunferencia trazamos un ángulo que toque los dos extremos de ese arco, ese ángulo ha de tener la misma medida que tenga el arco.

 

dibujo

El área y el volumen del cono:

 

El cono debe su nombre al cuerno, tanto en griego como en latín, y es la figura geométrica cuya superficie está engendrada por una generatriz, pasando de un punto fijo llamado cumbre o cima y apoyada en una curva fija o directriz.

La generatriz de un cono es cada uno de los segmentos cuyos extremos son el vértice y un punto de la circunferencia de la base.

 

Esta es la formula para hallar el área del cono: A= phr2+g+h. Esto se debe leer: Área es igual a pi multiplicado por el radio al cuadrado, más la suma de la generatriz, más la suma de la altura.

 

 

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Si el cono tiene un radio de 8 cm, una generatriz de 12 cm y una altura de 10 cm, procedo a: 3.1416 x 8 al cuadrado que es 64, más 12, más 10= A=223.06 cm.

 

Para hallar el volumen del cono: hasta ahora no habíamos usado la palabra volumen, que significa envoltura, enrollar. El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo. Para hallar el volumen del cono se multiplica el ph por el radio al cuadrado, lo que luego se multiplica por la altura y se divide entre tres.

 

Esta es la fórmula del volumen del cono: V= 3.1416 x r2 x h/3. Como en el ejemplo anterior hacemos esta operación:

V= 3.1416 x 64 x 10 /3= 67o.20 centímetros cuadrados.

 

Área y volumen de la esfera: La palabra esfera significa bola en griego, y es el cuerpo limitado por una superficie cuerva, donde todos los puntos están a igual distancia de un punto interior llamado centro.

 

 

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La fórmula para hallar el área de la esfera es: A= 4 x ph x r2, esto es que el área es igual a 4 multiplicado por el pi, es 3.1416, multiplicado por el cuadrado del radio.

Pongamos como ejemplo que esta esfera tiene un radio de 8 centímetros, entonces procedemos a multiplicar 4 x 3.1416 x el cuadrado de 8 que es 64 y nos dará: 804.20.

Para hallar el volumen de la esfera se multiplica por 4 el ph, luego se multiplica por el cuadrado del radio y se divide por 3.

Esta es la fórmula del volumen de la esfera: V= 4 x ph x r2 /3.

 

Si tomamos la esfera anterior que tiene un radio de 8 centímetros esto es lo que obtenemos: V= 4 x 3.1416 x 64/3= 268 centímetro cuadrados.

 

El área y el volumen del cilindro: Cilindro significa rollo, y es el cuerpo limitado por una superficie enrollada, con dos planos paralelos que se encuentran en la generatriz.

 

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Para hallar el área de un cilindro, se suman sus dos caras, mas la suma del cuerpo o área lateral del mismo. Esta es su formula: A= 2 x ph x r + (b x h).

Si nuestro cilindro tuviera un  radio de 15 centímetros por una altura de 40 centímetros, con 47 de base, esto es lo que tendríamos: A= 2 x 3.1416 x 15 + (47 x 40)=1974.24.

La fórmula para el volumen es: V= ph x r2 x h/3.

El cilindro anterior nos daría: V= 3.1416 x 225 x 40= 28,244.4/3= 9424.8 centímetros cuadrados.

 

Área y  volumen de la pirámide: El nombre pirámide, le viene del latín piramidis, lo que significa monumento. La pirámide es el solidó que por base tiene un polígono,( palabra que significa muchos ángulos) y varias caras laterales triangulares, las cuales se unen un punto llamado cúspide o cima.

 

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El área de la pirámide se obtiene al medir el área de su base, a la cual se le suma el área de cada uno de los triángulos que forma sus caras. Por ejemplo, si nuestra pirámide tiene en su base un cuadrado de 4 centímetros de largo por 4 centímetros de ancho, y sus caras tiene 5 centímetros de alto, entonces tendremos 16 centímetros en la base, y cada una de sus cuatro caras mediría 10 centímetros, que al ser 4, serian 40 centímetros, más los 16 de la base nos daría un área de 56 centímetros cuadrados.

Para hallar el volumen de la pirámide, se plantea esta fórmula V= b x h/3, esto es que se multiplica el área de la base por el área de la altura, y se divide entre 3.

En el ejemplo anterior, de una pirámide de cuatro lado, con una base de 16 centímetros, en el que sus caras miden 40 centímetros, al multiplicarlos tenemos 440 centímetros, que al ser divididos por 3, es igual a un volumen de 213.33 centímetros.

El prisma: su área y volumen: La palabra prisma, es proviene de la palabra griega prisein, que significa prisión. El prisma regular es el solidó que tiene dos pares de bases paralelas, formadas por un polígono, donde las caras laterales son un paralelogramo. El prisma tiene 6 caras.

 

 

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Para tener una idea del prisma, una caja, una casa, una nevera, es un prisma. Para hallar el área del prisma, se busca el área de cada una de sus 6 caras y se suman.

Por ejemplo, si la figura de arriba tiene una altura de 4 centímetro de profundidad o anchura, por 4 centímetros de altura, y una longitud de 6 centímetros, dos de sus lados miden 16 centímetros cada uno, y los otros cuatro 24 centímetros cada uno, lo cual al ser sumados dan un área de 124 centímetros cuadrados.

Para hallar su volumen, se multiplica el área del  largo, por el área  ancho, por área de la altura.

En el prisma anterior al multiplicar 16 x 16 x 36 nos dice que V= 9,216 centímetros.

Para finalizar, queremos hacerlo con la demostración del Teorema de Thales de Mileto que se enuncia diciendo: “Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es una ángulo recto”.

 

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CONCLUSIONES

 

Hemos llegado al final de éste cuaderno de Geometría divertida, pero quiero como una nota histórica dejar anotado, que ésta ciencia de niños y para niños, tuvo un gran cultivador en Eratóstenes este filósofo, matemático, astrónomo, arqueólogo, poeta y geógrafo, que vivió entre los años 275 y 194 a.C. Este sabio fue llamado a la ciudad de Alejandría por el rey Ptolomeo, y observó que en el solsticio de verano, el 21 de junio, el sol no se alejaba mucho del cenit, y vio como los rayos caer perpendicularmente sobre la tierra. Basado en esa observación, calculó la circunferencia de la tierra, de una exactitud  asombrosa.

Al igual que Eratóstenes, tú puedes hacer tus observaciones, y proponer tus propios teoremas, y verá lo divertido que es. Por razón te proponemos que realice estos ejercicios, y lo observe. Toma tu cuaderno, transportador, regla, lápiz y compás, y que demuestre:

1. Que los ángulos de los cuatro tipos de triángulos suman siempre miden 180 grados.

2. Dibuja los cuatro tipos de triángulos y trázale una paralela a su base para observar cómo se obtienen triángulos semejantes y a la vez proporcionales.

3. Traza tantos semicírculos como desees, y el interior traza ángulos en los puntos que quieras, y al medirlo siempre obtendrás Angulo rectos.

4. En una circunferencia traza arcos y mides sus ángulos centrales e inscritos, y mídelos.

5. traza un cuadrado, un  rombo o un rectángulo, y con un transportador verifica que sus cuatro ángulos sumados dan 360 grados.

6. Demuestra con regla y compás el postulado de Euclides, piedra angular de sus Elementos, que dice: “Por un punto exterior a una recta sólo  se puede trazar una perpendicular a la mitad y sólo una”.

7. Enuncia y demuestra tu propio teorema.

La Geometría es divertida, así como también su estudio te ayudará a mejorar la concentración y a perfeccionar tus deducciones. A medida que observe el mundo que te rodeas, desde las sombras de los árboles y de los edificios, observará que la Geometría tiene su aplicación en la vida diaria, ya que posición de los objetos, se encuentran en forma geométrica.

Espero que te hayas divertido, pero que sobre todo, te hayas puesto a pensar.

 

 

 

 

 

 

 

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