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INTRODUCCIÓN A LAS

MATEMÁTICAS

(PARTE – I)

2010

ANTONIO ROS MORENO

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

“Cuando puedes medir aquello de lo que hablas, y expresarlo con números, sabes algo

acerca de ello; pero cuando no lo puedes medir, cuando no lo puedes expresar con

números, tu conocimiento es pobre e insatisfactorio: puede ser el principio del

conocimiento, pero apenas has avanzado en tus pensamientos a la etapa de ciencia.”

William Thomson Kelvin (1824-1907) Matemático y físico escocés.

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

INDICE:

1.- CONJUNTOS

1.1.- Generalidades

1.2.- Noción de conjunto

1.3.- Operaciones con conjuntos

2.- CORRESPONDENCIAS

2.1.- Noción de correspondencia

2.2.- Correspondencia inversa

2.3.- Clasificación de las correspondencias

2.4.- Aplicaciones

2.5.- Relaciones binarias

2.6.- Relación de equivalencia

2.7.- Relación de orden

3.- ESTRUTURAS ALGEBRAICAS

3.1.- Generalidades

3.2.- Operaciones

3.3.- Leyes de composición

3.4.- Concepto de estructura algebraica

4.- NÚMERO NATURAL

4.1.- Concepto de número natural

4.2.- Estructura del conjunto de los números naturales

4.3.- Sistemas de numeración

5.- NÚMERO ENTERO

5.1.- Generalidades

5.2.- Operaciones N → N

5.3.- Pares ordenados y números enteros

5.4.- Estructura del conjunto de los números enteros

5.5.- Inmersión del conjunto N en el conjunto Z

5.6.- Divisibilidad

6.- NÚMERO RACIONAL

6.1.- Generalidades

6.2.- Concepto de número racional

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

6.3.- Estructura del conjunto Q

6.4.- Inmersión del conjunto Z en el conjunto Q

6.5.- Números decimales

6.6.- Fracciones generatrices

7.- RADICACIÓN

7.1.- Generalidades

7.2.- Potencias de exponente racional

7.3.- Operaciones con radicales

7.4.- Racionalización

7.5.- Simplificación de radicales

7.6.- Cálculo de la raíz cuadrada de un número

8.- NÚMERO REAL

8.1.- Generalidades

8.2.- Concepto de número real

8.3.- Estructura del conjunto de los números reales

8.4.- Inversión del conjunto Q de los números racionales en el conjunto R de

los números reales

9.- LOGARITMIZACIÓN

9.1.- Generalidades

9.2.- Propiedades de los logaritmos

9.3.- Logaritmos decimales

9.4.- Antilogaritmo

9.5.- Cologaritmo

9.6.- Logaritmos neperianos

9.7.- Cálculo logarítmico

9.8.- Ecuaciones logarítmicas

9.9.- Ecuaciones exponenciales

10.- PROGRESIONES

10.1.- Progresiones aritméticas

10.2.- Progresiones geométricas

10.3.- Progresiones ilimitadas

10.4.- Problemas de aplicación

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

1. CONJUNTOS

1.1. Generalidades

Conjunto:

• concepto primario

• no puede definirse

• base de las Matemáticas:

- construcción de los números

- estudiar las estructuras algebraicas

1.2. Noción de conjunto

Un conjunto es una colección de objetos bien determinados y diferenciados.

1.2.1. Nomenclatura

Nombrar a los conjuntos:

- Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los

elementos del conjunto.

{Lunes, martes, miércoles, jueves, sábado, domingo}

- Por compresión: escribiendo dentro de una llave una propiedad

característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos.

{Días de la semana}

ó

{x/x es un día de la semana}

Pertenencia de un elemento a un conjunto:

- Pertenece (∈)

- No pertenece (∉)

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

1.2.2. Conjunto vacio

Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento.

{ } ó Ø

1.2.3. Conjunto unitario

Es el conjunto que tiene un solo elemento.

1.2.4. Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todo elemento del primero es un

elemento del segundo y todo elemento del segundo es elemento del primero.

1.2.5. Conjuntos disjuntos

Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningún elemento que

pertenezca a ambos al mismo tiempo.

1.2.6. Inclusión de conjuntos

Se dice que un conjunto M está incluido o contenido en otro conjunto A si todo

elemento del conjunto M pertenece al conjunto A.

???? ⊂ ????

M es subconjunto de A, ó bien: M es una parte de A.

No inclusión

???? ⊄ ????

B no está incluido en A.

También suelen emplearse las expresiones:

???? ⊃ ???? y ???? ⊅ ???? (A contiene a M y A no contiene a B)

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Propiedades:

1.- Reflexiva: Todo conjunto está incluido en sí mismo.

∀ ???? ⇒ ???? ⊂ ????

2.- Antisimétrica: Dados dos conjuntos diferentes A y B, si A está incluido

en B, B no puede estar incluido en A.

???????? ???? ≠ ???? ???? ???? ⊂ ???? ⇒ ???? ⊄ ????

3.- Transitiva: Si un conjunto A está incluido en otro conjunto B y a su vez

B está incluido en C, A está incluido en C.

???????? ???? ⊂ ???? ???? ???? ⊂ ???? ⇒ ???? ⊂ ????

1.2.7. Conjunto de las partes de un conjunto

Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un

conjunto dado, y se representa por ρ (A).

???? = {????, ????, ????}

∅, ???? = {????}, ???? = {????}, ???? = {????}, ???? = {????, ????}, ???? = {????, ????}, ???? = {????, ????}, ???? = {????, ????, ????}

???? (????) = {∅, ????, ????, ????, ????, ????, ????, ????}

1.2.8. Representación de conjuntos

1.- Diagrama lineal: Se sitúa sobre una recta un punto por cada elemento

del conjunto.

(A)

a

b

c

d

e

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

2.- Diagrama de Venn: Se sitúan dentro de una línea cerrada los signos

representativos de los elementos del conjunto.

(A)

a

b

c

d

e

1.3. Operaciones con conjuntos

1.3.1. Unión de conjuntos

Se llama unión de dos conjuntos A y B, y se representa por A ∪ B, al nuevo

conjunto que tiene por elementos a todos los elementos de A y de B.

Si tienen algún elemento en común A y b, dicho elemento entrará a formar parte

del conjunto unión una sola vez, al contrario que en el concepto clásico de la suma, en

la que los elementos comunes se consideran tantas veces como estén en el total de los

conjuntos.

1.3.1.1. Propiedades de la unión de conjuntos

1.- Propiedad idempotente:

∀ ???? ⇒ ???? ∪ ???? = ????

2.- Propiedad conmutativa:

???? ∪ ???? = ???? ∪ ????

3.- Propiedad asociativa:

(???? ∪ ????) ∪ ???? = ???? ∪ (???? ∪ ????) = ???? ∪ ???? ∪ ????

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

1.3.2. Intersección de conjuntos

Se llama intersección de los conjuntos A y B, y se representa A ∩ B, al nuevo

conjunto que tiene por elementos todos los elementos comunes a A y B.

Si A y B son conjuntos disjuntos, su intersección es el conjunto vacio (no tiene

elementos).

1.3.2.1. Propiedades de la intersección

Iguales que las de la unión:

1.- Propiedad idempotente:

∀ ???? ⇒ ???? ∩ ???? = ????

2.- Propiedad conmutativa:

???? ∩ ???? = ???? ∩ ????

3.- Propiedad asociativa:

(???? ∩ ????) ∩ ???? = ???? ∩ (???? ∩ ????) = ???? ∩ ???? ∩ ????

1.3.2.2. Propiedades comunes a la unión y a la intersección

1.- Ley de absorción:

???? ∩ (???? ∪ ????) = ????

2.- Ley distributiva:

- De la unión respecto de la intersección:

(???? ∩ ????) ∪ ???? = (???? ∪ ????) ∩ (???? ∪ ????)

- De la intersección respecto de la unión:

(???? ∪ ????) ∩ ???? = (???? ∩ ????) ∪ (???? ∩ ????)

Estas dos leyes nos indican que ambas operaciones, ∪ y ∩, tienen la misma

fuerza, existe entre ellas una completa analogía.

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

1.3.3. Diferencia de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A para B, y se representa por

A – B al conjunto de todos los elementos de A que no son elementos de B.

La diferencia de conjuntos no es conmutativa, ni asociativa.

1.3.3.1. Complementario de un conjunto con respecto a otro

Si A es un subconjunto de B, se llama complementario de A y se representa por

AC, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a

A.

1.3.4. Producto cartesiano de dos conjuntos

Se llama conjunto producto cartesiano de dos conjuntos A y B, y se representa

por A x B, al conjunto formado por todos los pares ordenados de elementos (a, b), tales

que a ∈ A y b ∈ B.

Pares ordenados”, serán diferentes: (a, b) y (b, a), lo cual indica que dicho

producto cartesiano no tiene la propiedad conmutativa.

1.3.4.1. Propiedades del producto cartesiano

1.- ???? × ∅ = ∅

2.- Propiedad distributiva respecto de la unión:

???? × (???? ∪ ????) = (???? × ????) ∪ (???? × ????)

3.- Propiedad distributiva respecto de la intersección:

???? × (???? ∩ ????) = (???? × ????) ∩ (???? × ????)

1.3.4.2. Observación

Si A es un conjunto finito que contiene m elementos y B también finito, contiene

n elementos, el producto cartesiano A x B contiene m · n pares ordenados de elementos

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

1.3.4.3. Representación gráfica del producto cartesiano

A x B

3

(3, a)

(3, b)

(3, c)

(3, d)

(3, e)

A 2

(2, a)

(2, b)

(2, c)

(2, d)

(2, e)

1

(1, a)

(1, b)

(1, c)

(1, d)

(1, e)

a

b

c

d

e

B

2. CORRESPONDENCIAS

2.1. Noción de correspondencia

Dados dos conjuntos A y B, se entiende por correspondencia entre ambos al

subconjunto de su producto cartesiano.

" f "

A

a

B

1

b

2

c

ORIGEN

IMANGEN

???? = {( ????, 1), (????, 2), (????, 2)}

????

???? ⎯ ????

Correspondencia (f) entre A y B mediante una relación (R).

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

- A es el conjunto origen o conjunto inicial (sus elementos son los

elementos originales o variables).

- B es el conjunto imagen o conjunto final (sus elementos son los

elementos homólogos, imágenes o constantes).

????(????) = {1,2} ????(????) = {2},

siendo f(a) y f(b), respectivamente, el conjunto imagen de a y de b.

Otra forma de definir una correspondencia es como asociación de elementos del

conjunto A con otros elementos del conjunto B.

???? → 1, ???? → 2, ???? → 2

2.2. Correspondencia inversa

Se llama correspondencia inversa de una correspondencia dada f, representada

por “????−1”, a la que está formada por los pares que tienen los mismos elementos que la

primera, pero en sentido contrario.

????´ = {(1, ????), (2, ????), (2, ????)}

Se trata, pues, de un subconjunto del producto B x A.

2.3. Clasificación de las correspondencias

1.- Correspondencia unívoca:

- Del conjunto origen puede salir una flecha o ninguna flecha (de los

elementos).

- Al conjunto imagen puede llegar: ninguna, una o varias flechas (a los

elementos).

2.- Correspondencia biunívoca:

- Conjunto origen sale una flecha o ninguna (elementos)

- Conjunto imagen llega una flecha o ninguna (elementos)

???? ???? ????−1 son unívocas

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

3.- Correspondencia multívoca:

- Del conjunto origen pueden salir: ninguna, una o varias flechas

(elementos), pero por lo menos de un elemento de este conjunto debe salir más de

una.

2.4. Aplicaciones

Son un caso particular de las correspondencias unívocas.

Se llama aplicación a toda correspondencia tal que todos y cada uno de los

elementos del conjunto origen tiene una y solamente una imagen.

- Toda aplicación es una correspondencia unívoca.

- Toda correspondencia unívoca no es una aplicación.

2.4.1. Clases de aplicaciones

Vamos a fijarnos en el número de flechas que llegan a cada elemento del

conjunto imagen.

1.- Aplicación inyectiva: Es aquella en que cada elemento del conjunto

imagen recibe a lo más una flecha, es decir, a los elementos del conjunto imagen

llega o una flecha o ninguna.

????º ???????????????????????????????????? ????. ???????????????????????? < ????º ???????????????????????????????????? ????. ????????????????????????

2.- Aplicación suprayectiva o sobreyectiva: Es aquella en que cada

elemento del conjunto imagen recibe por lo menos una flecha, es decir, a los

elementos del conjunto imagen llega o una flecha o varias.

????º ???????????????????????????????????? ????. ???????????????????????? > ????º ???????????????????????????????????? ????. ????????????????????????

3.- Aplicación biyectiva o biyección: Es aquella en que cada elemento del

conjunto imagen recibe una y solamente una flecha. Es una aplicación inyectiva y

suprayectiva a la vez.

????º ???????????????????????????????????? ????. ???????????????????????? = ????º ???????????????????????????????????? ????. ????????????????????????

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

2.4.2. Relación recíproca de una aplicación

Dada una aplicación entre A y B, al hacer su correspondencia recíproca lo que

hacemos es, en el mismo diagrama, cambiar el sentido de las flechas. Ahora B es el

conjunto origen y A el conjunto imagen.

2.4.3. Composición de aplicaciones

" f "

" g "

A

1

m

a

2

n

b

3

p

c

4

q

d

5

B

C

Se llama aplicación f seguida de g, o bien composición de las aplicaciones f y g,

a la aplicación resultante del primer conjunto A en el último conjunto C.

2.5. Relaciones binarias

Se llama así a toda correspondencia de un conjunto en sí mismo.

Se representan:

1.- Como subconjunto del producto cartesiano A x A.

???? = {????, ????, ????, ????, ????}

???? = {(????, ????), (????, ????), (????, ????), (????, ????), (????, ????)}

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

2.- Poniendo los distintos pares que la determinan, sin paréntesis y con los

términos separados mediante la letra R.

???? ???? ????, ???? ???? ????, ???? ???? ????, ???? ???? ????, ???? ???? ????

3.- Mediante el diagrama de Venn.

A

BUCLE

a

a

b

c

e

d

R

4.- Mediante un diagrama cartesiano.

e

d

(d, e)

A c

(c, c)

R

b

(b, c)

a

(a, a)

(a, b)

a

b

c

d

e

A

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

2.5.1. Propiedades que puede tener una relación binaria

1.- Propiedad reflexiva: Se dice que una relación binaria posee la propiedad

reflexiva o idéntica cuando todos sus elementos poseen bucle. En el diagrama

cartesiano esto equivaldría a que todos los puntos de la diagonal principal están

ocupados.

A

m

n

q

p

R

q

p

A

n

R

m

m

n

p

q

A

2.- Propiedad antirreflexiva: Una relación tiene la propiedad antirreflexiva

cuando ninguno de sus elementos poseen bucle, es decir, ninguno de sus elementos

están relacionados consigo mismo.

Puede ser que no tenga ni la propiedad reflexiva ni la antirreflexiva.

3.- Propiedad simétrica: Una relación tiene la propiedad simétrica cuando si

una flecha sale de un primer elemento a un segundo, va siempre otra flecha del

segundo al primero.

???? ???? ???? ⇒ ???? ???? ????

a

b

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

4.- Propiedad antisimétrica: Una relación es antisimétrica si su grafo no

contiene nunca simultáneamente una flecha que vaya de un primer elemento a un

segundo, y una flecha que vaya del segundo elemento al primero, lo que equivale a

decir que si un elemento está relacionado con un segundo, en ningún caso está

relacionado el segundo elemento con el primero.

5.- Propiedad transitiva: Existe la propiedad transitiva cuando para tres

cualquiera de sus elementos se verifica que: si el primero está relacionado con el

segundo y éste con el tercero, el primero ha de estar relacionado con el tercero.

a

b

c

2.6. Relación de equivalencia

Dada una relación cualquiera, se dice que es una relación de equivalencia

cuando tiene las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Al aplicar a un conjunto una relación de equivalencia se efectúa una partición o

clasificación de dicho conjunto y a cada uno de dichos subconjuntos independientes se

le denomina clase de equivalencia.

2.7. Relación de orden

Dada una relación cualquiera, se dice que es relación de orden si tiene las

propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Tipos:

1.- De orden total: Es una relación de orden tal, que para cada pareja de

elementos del conjunto se verifica que, o bien el primero está relacionado con el

segundo, o el segundo está relacionado con el primero.

2.- De orden parcial: Es una relación de orden tal, que existe algún par de

elementos del conjunto que ni el primero está relacionado con el segundo, ni el

segundo lo está con el primero.

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

3.- De orden estricto: Es la relación que tiene las propiedades antirreflexiva,

antisimétrica y transitiva (caso especial).

3. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

3.1. Generalidades

Hemos considerado hasta ahora a los conjuntos como simples agrupaciones de

elementos, sin tener en cuenta si dichos elementos están dispuestos de alguna forma

determinada que dote al conjunto de una cierta organización interna; dicha organización

interna es lo que conocemos con el nombre de estructura.

Las estructuras en general (no sólo las algebraicas, de las que vamos a ocuparnos

aquí) se originan en el conjunto por un tipo particular de relación, o mejor aún, por las

correspondencias que esas relaciones definen: las llamadas operaciones.

En matemática moderna, se habla de tres tipos de estructuras: algebraica, de

orden y topológica.

• En la estructura algebraica, la relación establecida entre los elementos del

conjunto tiene carácter operatorio.

• En la estructura de orden, la relación establecida entre los elementos del

conjunto tiende a ordenar, de algún modo, el conjunto.

• En la estructura topológica, la relación establecida entre los elementos del

conjunto se refiere a los conceptos de frontera, continuidad, contorno, límite, etc. Ayuda

al mejor conocimiento del espacio.

3.2. Operaciones

Dados tres conjuntos (A, B y C), se llama operación a toda aplicación que hace

corresponder a una pareja de elementos (a, b), a ∈ A y b ∈ B, un elemento del tercer

conjunto C.

Signos de operación: ⊤, ⊥, O.

???? ⊤ ???? → ????

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

3.3. Leyes de composición

Son dos tipos particulares de operaciones que dan lugar a estructuras algebraicas

en los conjuntos.

1.- Ley de composición interna es toda aplicación:

???? ⊤ ???? → ????

2.- Ley de composición externa en un conjunto A con operadores de B es

toda aplicación:

???? ⊤ ???? → ????

3.3.1. Propiedades de las leyes de composición interna

1.- Permutabilidad: Se dice que dos elementos son permutables si se

verifica que:

???? ⊤ ???? = ???? ⊤ ????

Se verificará siempre que definamos una ley de composición interna que

posea la propiedad conmutativa.

2.- Elemento neutro: En un conjunto A, para el que se ha definido una ley

de composición interna ⊤, se dice que “e” es el elemento neutro con respecto a esta

ley, cuando se verifica que cualquier elemento del conjunto A operado con e da

como resultado el mismo elemento de A.

???? ⊤ ???? = ????

3.- Elemento simétrico: Se dice que un elemento ???? de un conjunto A tiene

por elemento simétrico o complementario a otro elemento “a” del mismo conjunto,

cuando definida en el mismo una ley de composición interna ⊥ se verifica que:

???? ⊥ ???? = ???? ⊥ ???? = ???? (???? = ???????????????????????????????? ????????????????????????)

Si un elemento admite simétrico se denomina “simetizable”.

4.- Propiedad asociativa: Una ley de composición interna ⊤ es asociativa,

cuando para todas las ternas de elementos a, b y c de un conjunto A se verifica

que:

(???? ⊤ ????) ⊤ ???? = ???? ⊤ (???? ⊤ ????)

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

5.- Propiedad distributiva: Dado un conjunto A en el que se han definido

dos operaciones internas ⊤ y ⊥, se dice que la ley de composición ⊤ es distributiva

respecto a la ley de composición ⊥ por la derecha y sólo por la derecha, cuando

para una terna de elementos a, b y c del conjunto A se verifica:

???? ⊤ (???? ⊥ ????) = (???? ⊤ ????) ⊥ (???? ⊤ ????)

Será distributiva por la izquierda si se verifica:

(???? ⊥ ????) ⊤ ???? = (???? ⊤ ????) ⊥ (???? ⊤ ????)

3.4. Concepto de estructura algebraica

Dado un conjunto A, se dice que se le ha dado una estructura algebraica, cuando

se le ha provisto de una o varias leyes de composición que gozan de unas determinadas

propiedades.

3.4.1. Tipos de estructuras algebraicas

A) Grupoide

Una sola ley

B) Semigrupo

C) Grupo

Interviene sólo leyes

de composición

D) Semianillo

interna

E) Anillo

Estructuras

Dos leyes

F) Semicuerpo

Algebraicas

I) Módulo

G) Cuerpo

Interviene alguna ley

de composición

J) Espacio vectorial

H) Retículo

externa

K) Algebra

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

3.4.1.1. Estructuras con una operación

GRUPOIDE

GRUPOIDE ABELIANO

- Conjunto

+ P. Conmutativa

O CONMUTATIVO

- Operación interna

SEMIGRUPO

- Conjunto

SEMIGRUPO

- Operación interna

ABELIANO

--------------------------

+ P. Conmutativa

Ó

GRUPOIDE

CONMUTATIVO

+

- Propiedad Asociativa

+ Elemento neutro

SEMIGRUPO

SEMIGRUPO CON

ABELIANO CON

ELEMENTO NEUTRO

ELEMENTO NEUTRO

GRUPO

- Conjunto

- Operación interna

- P. asociativa

- Elemento neutro

+ P. Conmutativa

GRUPO ABELIANO

--------------------------

SEMIGRUPO CON ELEMENTO

NEUTRO

+

- Elemento simétrico

La estructura de grupo está considerada como una de las más importantes de las

matemáticas y se debe a que, en todo grupo, se puede definir una operación inversa a la

que lo estructuraba como tal grupo.

G es grupo respecto a la operación ⊥, definimos ⊥

???? ⊥ ???? = ???? ⊥ ???? ???? ???? ???? ∈ ???? ???? ???? ???????? ???????? ????????????é???????????????????? ???????? ???? ???????????????????????????????? ???????? ???????? ????????????????????????????ó???? ⊥

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

3.4.1.2. Estructuras con dos operaciones

SEM

IANILLO

ANILLO

1ª Operación

2ª Operación

1ª Operación

2ª Operación

- Conjunto

- Conjunto

O

- Conjunto

- Conjunto

O

ro*) - Composición interna

- Composición interna

N

- Composición interna

- Composición interna

O

IV

ut

O

IA

O

P

T

- P. Asociativa

P

- P. Asociativa

L

- P. Asociativa

P

- P. Asociativa

U

A

U

U

R

o ne

T

- P. Conmutativa

E

R

B

- P. Conmutativa

R

IG

U

ent - Elemento neutro*

IG

A

- Elemento neutro

IG

M

M

M

O

N

lem

P

- Elemento simétrico

M

SE

O

SE

U

SE

C

* No definida en algunos

R

(con e

libros (Semigrupo abeliano)

G

⊥ ⊤ ⊥

⊥ ⊤ ⊥

DISTRIBUTIVA

DISTRIBUTIVA

a (b c) = (a b) (a c)

a (b c) = (a b) (a c)

SEMIANILLO ABELIANO

ANILLO ABELIANO

Semianilo cuya segunda operación cumple la propiedad conmutativa.

Anilo cuya segunda operación cumple la propiedad conmutativa.

SEMIANILLO CON E. NEUTRO

ANILLO CON ELEMENTO NEUTRO

Semianilo cuya segunda operación posee elemento neutro y cumple la

Anilo cuya segunda operación posee elemento neutro y cumple la

propiedad conmutativa.

propiedad conmutativa.

P. DISTRIBUTIVA

SEMIANILLO

SEMIGRUPO ABELIANO

SEMIGRUPO

2ª respecto 1ª

P. DISTRIBUTIVA

ANILLO

GRUPO ABELIANO

SEMIGRUPO

2ª respecto 1ª

SEM

ICUERPO

CUERPO

1ª Operación

2ª Operación

1ª Operación

2ª Operación

- Conjunto

- Conjunto

- Conjunto

- Conjunto

OP

- Composición interna

- Composición interna

- Composición interna

- Composición interna

U

O

O

O

R

IANO

- P. Asociativa

P

- P. Asociativa

P

IANO

- P. Asociativa

P

- P. Asociativa

U

U

U

IG

L

L

E

- P. Conmutativa

- Elemento neutro

E

- P. Conmutativa

- Elemento neutro

M

- Elemento neutro

GR

- Elemento simétrico

GR

- Elemento neutro

GR

- Elemento simétrico

SE

AB

AB

- Elemento simétrico

⊥ ⊤ ⊥