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FUNDAMENTOS DE

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

CARLOS RAMIREZ MOLINARES

MILTON GARCIA BARBOZA

CRISTO PANTOJA ALGARIN

ARIEL ZAMBRANO MEZA

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Fundamentos de matemáticas financieras

UNIVERSIDAD LIBRE SEDE CARTAGENA

CENTRO DE INVESTIGACIONES

Producto del Grupo de Investigación GNÓSIS

CARLOS VICENTE RAMIREZ MOLINARES

Ingeniero Industrial. Universidad Tecnológica de Bolívar

Contador Público de la Universidad de Cartagena

Magister en Administración. ISTEM (México- UNAB- UTB)

Especialista en Docencia Universitaria. Universidad del Bosque

Especialista en Finanzas y Negocios Internacionales. Universidad Autonóma del Caribe

Docente Asistente Universidad de Cartagena. Facultad de Ciencias Económicas

Docente Catedrático Universidad Libre Seccional Cartagena. Facultad de Ciencias

Económicas.

Miembro del Grupo de Investigación GNOSIS de la Universidad Libre Seccional

Cartagena.

MILTON GARCIA BARBOSA

Contador Público. Universidad de Cartagena

Especialista en Gestión Gerencial. Universidad de Cartagena

Docente Asociado Universidad de Cartagena.

CRISTO PANTOJA ALGARIN

Contador Público. Universidad de Cartagena

Especialista en Administración Financiera Universidad de Cartagena

Magister en Ciencias Financieras y de Sistemas de la Universidad Central

Docente Asistente Universidad de Cartagena

ARIEL ZAMBRANO MEZA

Contador Público de la Universidad Libre Seccional Cartagena

Monitor Matemáticas Financieras y Finanzas.

Universidad Libre

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UNIVERSIDAD LIBRE

DIRECTIVOS NACIONALES 2009

Presidente

Luis Francisco Sierra Reyes

Rector

Nicolás Enrique Zuleta Hincapié

Censor

Edgar Sandoval Romero

Decano Facultad de Derecho

Jesús Hernando Alvarez Mora

Decano Facultad de Contaduría

Clara Inés Camacho

DIRECTIVOS SECCIONALES 2009

Presidente Delegado Rector

Rafael Ballestas Morales

Vicerrector Académico

Carlos Gustavo Méndez Rodríguez

Secretario General

Luis María Rangel Sepúlveda

Director Administrativo y Financiero

Lucy Castilla Bravo

Directora de la Facultad de Ciencias Económicas, Administrativas y

Contables

María Cristina Bustillo Castillejo

Decano de Extensión de Derecho

Narciso Castro Yanes

Decano de Extensión de Contaduría Pública

Gustavo Arrieta Vásquez

Directora Consultorio Jurídico y Centro de Conciliación

Tulia del Carmen Barrozo Osorio

Coordinadora de Postgrados

Beatriz Tovar Carrasquilla

Directora Centro de Investigaciones

Tatiana Díaz Ricardo

Secretaria Académica

Eline Palomino Riher

La publicación de los artículos está sujeta a los criterios del Comité editorial y

la evaluación de los pares científicos. Las opiniones expresadas por los autores

son independientes y no comprometen a la Universidad Libre Sede Cartagena.

Se respeta la libertad de expresión.

Universidad Libre

Pie de la Popa Calle. Real No. 20-177

Cartagena de Indias. Colombia

América del Sur

Teléfonos: 6661147- 6561379

3

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ISBN: 978-958-8621-03-6

Editorial Universidad Libre Sede Cartagena

Comité editorial

Adolfo Carbal Herrera

Carlos Cortés Mattos

Tatiana Díaz Ricardo

Zilath Romero González

Correos electrónicos:

investigaciones.unilibre.gmail.com

Editora: tatianadiazr@gmail.com

Cartagena de Indias, Colombia

Año 2009

Se permite la reproducción total y parcial por cualquier medio siempre y cuando

se citen debidamente la fuente, los autores y las instituciones. La Universidad

Libre Sede Cartagena no se hace responsable por los contenidos, posibles

errores u omisiones. Los contenidos son responsabilidad exclusiva de sus

autores.

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ACERCA DE LOS AUTORES

Carlos Vicente Ramírez Molinares. Es ingeniero Industrial de la Universidad

Tecnológica de Bolívar, Contador Público de la Universidad de Cartagena, Magister en

Administración en convenio con el Instituto Tecnológico de Monterrey (ISTEM –

México), Universidad Autónoma de Bucaramanga y la Universidad Tecnológica de

Bolívar, Especialista en Finanzas y Negocios Internacionales de la Universidad

Autónoma del Caribe y Especialista en Docencia Universitaria de la Universidad del

Bosque. Este trabajo es fruto de su experiencia como Docente Asistente de la

Universidad de Cartagena, en las áreas de Matemáticas Financieras, Finanzas

Privadas, Formulación y Evaluación de Proyectos en la Facultad de Ciencias

Económicas, y en Proyectos de Desarrollo e Ingeniería Económica, en la Facultad de

Ingenierías de la Universidad de Cartagena. Docente catedrático de la Universidad

libre Seccional Cartagena, en las cátedras de Matemáticas Financieras y

Administración Financiera y Docente Catedrático de la Universidad Tecnológica de

Bolívar, en las áreas de Ingeniería Económica y Emprendimiento (Cátedras

Empresariales I, II y III).

También, se ha desempeñado como docente en las especializaciones en Gestión

Empresarial, Finanzas, Gerencia Financieras, Gerencia de Proyectos, en la

Universidad de Cartagena, Universidad Jorge Tadeo Lozano Seccional Cartagena,

Universidad de la Guajira en el campo de las Matemáticas Financieras, Desarrollo de

modelos financieros empresariales y en Formulación y Evaluación de Proyectos.

Es miembro del grupo de investigación GNOSIS de la Universidad Libre Seccional

Cartagena y del grupo de Investigación GRICOF de la Universidad de Cartagena.

Milton García Barbosa. Contador Público de la Universidad de Cartagena.

Especialista en Gestión Gerencial de la Universidad de Cartagena. Docente Asociado

de la Universidad de Cartagena. Se ha desempeñado como docente de pregrado en

las áreas de Contabilidad de Activos, Contabilidad de Pasivos, Epistemología e

Investigación Contable, en el Programa de Contaduría Pública de la Universidad de

Cartagena. Además, ha sido docente en las especializaciones de Gestión Empresarial

y Finanzas, en las áreas de Contabilidad. Actualmente, se desempeña como Director

del Programa de Contaduría Pública de la Universidad de Cartagena. Es miembro del

grupo de investigación GRICOF de la Universidad de Cartagena.

Cristo Pantoja Algarín. Contador Público. Universidad de Cartagena. Especialista en

Administración Financiera Universidad De Cartagena. Magister en Ciencias

Financieras y de Sistemas de la Universidad Central. Docente Asistente Universidad de

Cartagena en el Programa de Contaduría Pública.

Ariel Zambrano Meza. Contador Público de la Universidad Libre Seccional Cartagena.

Monitor de las cátedras de Matemáticas Financieras y de Finanzas. En la actualidad se

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encuentra adelantando estudios de pregrado en el Programa De Administración de la

Universidad Libre Seccional Cartagena.

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CONTENIDO

Pag

CAPITULO No 1. CONCEPTOS GENERALES

1.1 Introducción

13

1.2 Importancia de las matemáticas financieras

13

1.3 Definiciones de las matemáticas financieras

13

1.4 Definiciones de proyecto

14

1.5 Inversiones

15

1.6 Proceso de toma de decisiones

16

1.7 Aspectos básicos de un análisis de inversiones

19

1.8 Valor del dinero en el tiempo

20

1.9 Interés

21

1.10 Tasa de interés

22

1.11 Equivalencia

23

1.12 Diagrama de tiempo o flujo de caja

24

CAPITULO No 2. INTERES SIMPLE

2.1 Introducción

30

2.2 Definición del interés simple

30

2.3 Clases de intereses Simple

31

2.4 Desventajas del interés simple

32

2.5 Tablas de Días

33

2.6 Monto o valor futuro a interés simple

35

2.7 Valor presente o actual a interés simple

35

2.8 Cálculo de la tasa de interés simple

37

2.9 Cálculo del tiempo

37

2.10 Descuentos

38

2.10.1 Descuento comercial o bancario

39

2.10.2 Descuento real o justo

41

2.10.3 Descuento racional o matemático

42

2.11 Ecuaciones de valor

44

CAPITULO No 3. INTERES COMPUESTO.

3.1 Introducción

52

3.2 Definición del interés compuesto

52

3.3 Subdivisión del interés compuesto

53

3.4 Comparación entre el interés simple y compuesto

53

3.5 Periodo

54

3.6 Valor futuro equivalente a un presente dado

55

3.7

Cálculo del valor presente equivalente de un valor futuro

57

3.8 Cálculo del número de períodos

60

3.9 Calculo del Interés

61

3.10 Interpolación lineal

62

3.11 Descuento compuesto

64

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CAPITULO No 4. TASAS DE INTERES Y EQUIVALENCIA ENTRE TASAS

4.1

Introducción

72

4.2

Tasa de interés periódica

72

4.3

Tasa de interés nominal

72

4.4

Tasa de interés efectivo

74

4.5

Tasa de interés anticipada

76

4.6

Tasas equivalentes

80

4.7

Tasa de interés continuo

91

4.8

Cálculo del valor futuro dado un valor presente

92

4.9

Cálculo del valor presente dado un valor futuro

93

4.10

Cálculo del tiempo (n)

94

4.11

Tasas combinadas o compuesta

95

4.11.1

Préstamo e inversión en moneda extranjera

95

4.11.1.1

Devaluación

96

4.11.1.2

Tasa de cambio

97

4.11.1.2.1 Tasa de cambio fija

97

4.11.1.2.2 Tasa de cambio variable (flotante)

97

4.11.1.3

Tasa de devaluación

98

4.11.1.4

Revaluación

99

4.11.1.4.1 Tasa de revaluación

99

4.11.2

Inflación

106

4.11.3

Unidad de valor real (UVR)

110

4.11.3.1

Metodología para el cálculo de la UVR

110

4.12

Aplicación de las ecuaciones de valor con interés compuesto

112

CAPITULO 5. SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES

5.1

Introducción

126

5.2

Definición de anualidad

126

5.2.1

Renta o pago

126

5.2.2

Periodo de renta

126

5.2.3

Plazo de una anualidad

126

5.3

Requisitos para que exista una anualidad

127

5.4

Clasificación de las anualidades según el tiempo

127

5.4.1

Anualidades ciertas

127

5.4.2

Anualidades contingentes

127

5.4.3

Clasificación de las anualidades según los intereses

127

5.4.3.1

Anualidades simples

127

5.4.3.2

Anualidades generales

128

5.4.4

Clasificación de las anualidades según el momento de iniciación 128

5.4.4.1

Anualidades diferidas

128

5.4.4.2

Anualidades inmediatas

128

5.4.5

Clasificación de las anualidades según los pagos

128

5.4.5.1

Anualidades vencidas

128

5.4.5.2

Anualidades anticipadas

129

5.5

Valor presente de una anualidad vencida

129

5.6

Cálculo de la anualidad en función del valor presente

132

5.7

Valor futuro de una anualidad vencida

136

8

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5.8

Cálculo de la anualidad en función del valor futuro

139

5.9

Calculo del tiempo en una anualidad vencida

142

5.10

Cálculo de la tasa de interés de una anualidad vencida

146

5.11

Anualidades anticipadas

148

5.11.1

Valor presente de una anualidad anticipada

148

5.11.2

Cálculo de una anualidad anticipada en función del valor presente 151

5.11.3

Valor futuro de una anualidad anticipada

152

5.12

Cálculo del tiempo en una anualidad anticipada

155

5.13

Cálculo de la tasa de interés de una anualidad anticipada

158

5.14

Anualidades diferidas

162

5.15

Anualidades perpetúas

164

5.16

Anualidades generales

166

CAPITULO 6. GRADIENTES O SERIES VARIABLES

6.1

Introducción

176

6.2

Definición

176

6.3

Gradiente Aritmético o lineal

176

6.3.1

Valor presente de un gradiente aritmético o lineal creciente

177

6.3.2

Valor futuro de un gradiente aritmético o lineal creciente

186

6.4

Gradiente lineal decreciente

195

6.4.1

Valor presente de un gradiente lineal decreciente

195

6.4.2

Valor futuro de un gradiente lineal decreciente

197

6.5

Gradiente geométrico o exponencial

199

6.5.1

Valor presente de un gradiente geométrico creciente

199

6.5.2

Valor futuro de un gradiente geométrico creciente

201

6.6

Gradiente geométrico decreciente

205

6.6.1

Valor presente de un gradiente geométrico decreciente

205

6.6.2

Valor futuro de un gradiente geométrico decreciente

207

6.7

Gradiente aritmético perpetuo

209

6.8

Gradiente aritmético perpetuo

211

CAPITULO 7. AMORTIZACION

7.1

Introducción

222

7.2

Definición de amortización

222

7.3

Amortización con cuotas uniformes y cuotas extras pactadas.

222

7.3.1

Amortización con cuotas uniformes

222

7.3.2

Amortización con cuotas extras pactadas

223

7.4

Amortización con cuotas extras no pactadas

224

7.5

Amortización con período de gracia

227

7.6

Distribución de un pago

230

7.7

Amortización con abono constante a capital e intereses vencidos 232

7.8

Amortización con abono constante a capital e intereses anticipados 233

7.9

Amortización en moneda extranjera

234

9

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PRESENTACION

Desde su aparición el dinero es parte importante de la vida del hombre y ha tratado de

utilizarlo de la manera más óptima y adecuada; pero hoy por la globalización de la

economía ha adquirido una importancia relevante, ya que todas las transacciones se

realiza a través del uso del dinero, por eso es conveniente que se sepa manejar para

que genere los máximos beneficios y se aproveche a su máxima utilidad; por lo que es

importante comprender de manera clara cómo el dinero puede ganar o perder o

cambiar de valor en el tiempo, debido a fenómenos económicos como la inflación y

devaluación, por lo cual es relevante usar y empleo con claridad y precisión los

conceptos de las matemáticas financieras.

Además, es importante el manejo de las matemáticas financieras ya que la economía

de un país, se basa en diferentes operaciones financieras y que para tomar una

decisión acertada, es necesario e indispensable tener en cuenta que a través del

tiempo el valor del dinero puede tener variaciones.

Se ha tratado de exponer cada una de las unidades de una manera clara y sencilla y

usando un lenguaje simple para que el lector encuentre interesante el campo de las

matemáticas financieras; pero es conveniente aclarar que esta disciplina, como todas

las que tienen que ver con las matemáticas, exigen un trabajo práctico dedicado, por lo

que se recomienda realizar los ejercicios resueltos y propuestos. EL libro contiene

suficientes ejemplos resueltos paso a paso que le proporciona al lector la destreza

necesaria para resolver los ejercicios propuestos con sus respectivas respuestas, los

cuales servirán para afianzar los conocimientos adquiridos a través de los capítulos.

Teniendo en cuenta que la intención u objetivo del presente libro, es que el lector

conozca los conceptos fundamentales de las matemáticas financieras para que pueda

aplicarlos en el mundo financiero, para lo cual se han estructurado los siguientes

capítulos:

Capitulo1. Se trata lo concerniente a la definición e importancia de las matemáticas

financieras, qué es un proyecto y una breve descripción de las etapas que se tienen en

cuentan para estudiarlos, se detalla el proceso de toma de decisiones, como elemento

de planeación para el análisis de los proyectos e inversiones, a éstas últimas se les

presenta las clasificaciones más importantes, de la misma manera se explica el

concepto del valor del dinero en el tiempo, así como el principio de equivalencia, el

interés y la tasa de interés, por último se explica de manera concreta el diagrama

económico, como herramienta clave para la solución de los problemas de las

matemáticas financieras.

Capitulo 2. Se analiza el interés simple, y se muestra como se calcula el valor presente,

valor futuro, el tiempo y la tasa de interés bajo el concepto del interés simple, de la

misma se explican y detallan ejercicios que tratan sobre el descuento comercial, real, el

racional y las ecuaciones de valor.

Capitulo 3. Se desarrollan los aspectos más importantes del interés compuestos, en lo

referente al cálculo del valor presente, valor futuro, el tiempo y la tasa de interés, se

explica de manera detallada la interpolación lineal, como herramienta para determinar

10

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el número de períodos y la tasa de interés. Se trata el descuento bajo la modalidad del

interés compuesto.

Capítulo 4. Se explican y analizan las tasas de interés periódica, nominal, interés

efectivo e interés continuo. Respecto al concepto de tasas equivales, se realizan un

número importante de ejemplos, para que el lector se familiarice con la conversión de

las tasas de interés, ya que le experiencia ha demostrado que es un tema donde los

estudiantes tienen bastante problemas cuando tratan de realizar las conversiones. De

la misma manera, se detalla la metodología para el cálculo de la UVR (Unidad de valor

real), y se explica detalladamente los conceptos sobre moneda extranjera y que

difícilmente se pueden encontrar en otros textos de las matemáticas financieras.

También se hacen aplicaciones de ecuaciones de valor bajo el concepto del interés

compuesto.

Capítulo 5. Se estudian las anualidades vencidas, anticipadas, diferidas y perpetuas o

indefinidas; además se hacen ejemplos para el cálculo del valor, valor futuro, el tiempo

y la tasa de interés, en estos dos últimos temas, se explica detalladamente el método

de tanteo o ensayo y error.

Capítulo 6. Se realiza un análisis detallado de las series gradientes aritméticas y

geométricas, desde lo creciente y decrecientes, así como desde la óptica de lo vencido

e indefinido. Además, se explica el manejo de series gradientes anticipadas y diferidas.

Capitulo 7. Se estudian los diferentes sistemas de amortización en moneda nacional,

también se explican de manera detallada la amortización de deudas en moneda

extranjera cancelando las cuotas en pesos.

En este texto no se utilizan las tablas financieras que se aplicaban anteriormente en los

diferentes textos de las matemáticas financieras, sino que se procura que el lector

analice y haga uso de las fórmulas matemáticas, con la seguridad que le van a permitir

un mayor dominio de la disciplina.

Este texto puede servir de guía en las carreras de pregrado como: Contaduría Pública,

Administración de Empresas, Economía, Ingeniería Industrial y carreras afines, así

como en las especializaciones donde se traten temas relacionados con las

Matemáticas Financieras.

Los Autores

11

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CAPITULO No 1. CONCEPTOS GENERALES

OBJETIVOS

Al finalizar el estudio del capítulo, el lector será capaz de:

1) Explicar y definir las matemáticas financieras y conceptuar sobre su importancia

2) Explicar y definir proyecto e inversiones y los tipos de inversiones

3) Explicar el proceso de toma de decisiones

4) Distinguir y explicar los aspectos básicos para la realización de inversiones o de

proyectos

5) Definir y conceptualizar sobre el interés y la tasa de interés

6) Explicar el concepto de equivalencia

7) Distinguir y explicar el diagrama económico o flujo de caja

TEMARIO

1.1

Introducción

1.2

Importancia de las matemáticas financieras

1.3

Definiciones de las matemáticas financieras

1.4

Definiciones de proyecto

1.5

Inversiones

1.6

Proceso de toma de decisiones

1.7

Aspectos básicos de un análisis de inversiones

1.8

Valor del dinero en el tiempo

1.9

Interés

1.10

Tasa de interés

1.11

Equivalencia

1.12

Diagrama de tiempo o flujo de caja

12

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1.1 INTRODUCCION

Las matemáticas financieras son fundamentales para tomar la mejor decisión, cuando

se invierte dinero en proyectos o en inversiones, por eso es conveniente que el lector

defina y explique los conceptos básicos sobre proyectos y las diferentes inversiones

que se pueden llevar a cabo en la vida cotidiana y empresarial. También, es

importante, que se conozca la importancia del concepto del valor del dinero a través del

tiempo, como elemento fundamental de las matemáticas financieras, así como del

principio de equivalencia y el principio de visión económica, que se aplican en el

diagrama económico, para efecto de trasladar los flujos de caja al presente o al futuro.

1.2 IMPORTANCIA DE LA MATEMATICAS FINANCIERAS.

Las organizaciones y la personas toman decisiones diariamente que afectan su futuro

económico, por lo cual, deben analizar técnicamente los factores económicos y no

económicos, así como también los factores tangibles e intangibles, inmersos en cada

una de las decisiones que se toman para invertir el dinero en las diferentes opciones

que se puedan presentar, de allí, la importancia de las técnicas y modelos de la

matemáticas financieras en la toma de las decisiones, ya que cada una de ellas

afectará lo que se realizará en un tiempo futuro, por eso, las cantidades usadas en la

matemáticas financieras son las mejores predicciones de lo que se espera que suceda.

No hay que olvidar que en todo proceso de toma de decisión siempre aparece el

interrogante de tipo económico, debido a lo que espera toda organización o persona es

la optimización de los recursos con que se cuenta.

Cuando se busca la solución que optimice los recursos con que se cuentan

generalmente hay que abordar las siguientes preguntas claves:

¿Se justifica la realización del proyecto o la inversión?

¿Se puede usar la actual infraestructura de producción para alcanzar el nuevo nivel de

producción?

¿El tiempo estipulado para la realización del proyecto es el adecuado?

¿Es recomendable o favorable la inversión económica o socialmente?

¿Cuál de las alternativas planteadas es la mejor para la organización o inversionistas?.

Las respuestas a las preguntas señaladas ayudan a la organización o inversionista a

eliminar proyectos que no son factibles de realizar por no contar con los recursos

necesarios. De allí, la importancia de desarrollar todo el proceso de toma de decisiones

para plantear soluciones o alternativas para el problema que se está enfrentando.

Lo expuesto anteriormente, muestra la dimensión e importancia de las MATEMATICAS

FINANCIERAS como herramienta de análisis y evaluación en el proceso de toma de

decisiones.

1.3 DEFINICIONES DE LAS MATEMATICAS FINANCIERAS

Las matemáticas financieras pueden tener varias definiciones, pero todas presentan el

mismo objetivo final.

13

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“Estudia el conjunto de conceptos y técnicas cuantitativas de análisis útiles para la

evaluación y comparación económica de las diferentes alternativas que un

inversionista, o una organización pueden llevar a cabo y que normalmente están

relacionadas con proyectos o inversiones en: sistemas, productos, servicios, recursos,

inversiones, equipos, etc., para tomar decisiones que permitan seleccionar la mejor o

las mejores posibilidades entre las que se tienen en consideración”.

“Es una herramienta de trabajo que permite el análisis de diferentes alternativas

planteadas para la solución de un mismo problema”.

“Es el estudio de todas las formas posibles para desarrollar nuevos productos (o

resolver un problema), que ejecutarán funciones necesarias y definidas a un costo

mínimo”.

“Es un conjunto de conceptos y técnicas de análisis, útiles para la comparación y

evaluación económica de alternativas”.

En general el objetivo básico de las matemáticas financieras es seleccionar la

alternativa más conveniente desde el punto de vista económico.

1.4 DEFINICIONES DE PROYECTO

Existen varias definiciones al término proyectos, entre las cuales se pueden enumerar

las siguientes:

Las Naciones Unidas, en su Manual de Proyectos de Desarrollo Económico, expresa:

Un proyecto es el conjunto de antecedentes que permite estimas las ventajas y

desventajas económicas que se derivan de asignar ciertos recursos de un país

para la producción de determinados bienes o servicios”

La definición indica que si los resultados económicos esperados son favorables el

proyecto debe llevarse hasta finalizarlo, dando especial consideración a las diferentes

etapas que lo conforman.

El Banco Mundial define proyecto de la siguiente manera:

“El proyecto es, en un caso ideal, una serie óptima de actividades orientadas

hacia la inversión fundadas en una planificación sectorial completa y coherente,

mediante la cual se espera que un conjunto específico de recursos humanos y

materiales produzca un grado determinado de desarrollo económico y social”.

El Instituto Latinoamericano y del Caribe de Planificación Económica y Social, Ilpes, en

su documento Guía para la presentación de proyectos proporciona la siguiente

definición:

“En su significado básico, el proyecto es el plan prospectivo de una unidad de

acción capaz de materializar algún aspecto del desarrollo económico o social.

14

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Esto implica, desde el punto de vista económico. Proponer la producción de

algún bien o la prestación de algún servicio, con el empleo de una cierta técnica

y con miras a obtener u determinado resultado o ventaja, económico o social.

Como plan de acción, el proyecto supone también la indicación de los medios

necesarios para su realización y la adecuación de esos medios a los resultados

que se persiguen. El análisis de estas cuestiones se hace en los proyectos no

sólo del punto de vista económico sino también técnico y financiero,

administrativo e institucional”.

En la forma más simple un proyecto se puede definir como la búsqueda de una

solución inteligente al planteamiento de un problema para resolver, entre muchas, una

necesidad humana.

Un proyecto de inversión es un plan, que si se le asigna determinado monto de capital

y se le proporciona insumos de diferentes tipos, podrá producir un bien o un servicio,

útil al ser humano o a la sociedad en general.

1.5 INVERSIONES

Las inversiones son la asignación de recursos en los diferentes departamentos de una

organización, con las cuales se logran los objetivos trazados en cada uno de ellos. Las

inversiones deben ser evaluadas cuidadosamente a fin de determinar su aceptación o

rechazo y establecer su grado de prioridad dentro de los planes estratégicos de la

empresa. Los errores cometidos en las decisiones de inversión no sólo tienen

consecuencias negativas en los resultados de las operaciones, sino que también

impactan las estrategias de la empresa. Las inversiones pueden clasificarse de

acuerdo con varios criterios y desde diferentes puntos de vista. En este libro en primera

instancia, se clasificaran por el tipo de función que desempeñan dentro de la empresa:

a) Inversiones de renovación: Se realizan cuando se van a sustituir equipos,

instalaciones o edificaciones obsoletas o desgastadas físicamente por nuevos

elementos productivos. Se invierte en renovar las operaciones existentes.

b) Inversiones de modernización: Comprenden todas las inversiones que se

efectúan para mejorar la eficiencia de la empresa tanto en la fase productiva como

en la comercialización de los productos. Se invierte para mejorar la eficiencia

operacional.

c) Inversiones de expansión: Son las inversiones que se realizan para satisfacer una

demanda creciente de los productos de la empresa.

d) Inversiones estratégicas: Son las que afectan la esencia misma de la empresa, ya

que tomadas en conjunto definen el sistema de actividades de la misma. Estas

inversiones se derivan del análisis de la estrategia de la empresa y su impacto en el

sistema de actividades es contundente. Los casos más típicos son las inversiones

para diversificación, la cobertura de nuevos mercados, las inversiones asociadas

con nuevos desarrollos tecnológicos y las derivadas de las decisiones de

integración vertical u horizontal en la empresa.

Atendiendo a la relación de dependencia o independencia económica de las

inversiones, éstas se pueden clasificar en mutuamente excluyentes, independientes y

complementarias.

15

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a) Mutuamente excluyentes: Cuando por su naturaleza solo se puede ejecutar una

de ellas, pues sería redundante o contraría la política de la organización, hay que

tener en cuenta, que las inversiones mutuamente excluyentes están vinculadas a la

solución de un mismo problema, por eso, hay que seleccionar la mejor de todas.

b) Inversiones Independientes: Son aquellas que no guardan relación o dependencia

económica entre sí, por tal motivo, la realización de una de ellas no impide la

ejecución de otra u otras inversiones. La única limitante para la organización, es la

disponibilidad de los recursos para cada una de las inversiones.

El proceso decisorio se orienta a identificar una combinación de inversiones,

factibles de ejecutar en función de la disponibilidad de recursos, que es la que

genera los mejores resultados.

c) Inversiones Complementarias: Son las inversiones que tienen un alto grado de

dependencia económica entre sí, que en algunos de los casos al realizarse

simultáneamente, interactúan reforzando o atenuando las características de ellas.

Esto da como resultado que, en algunas combinaciones se presente el fenómeno

de sinergismo y que en tal sentido, haya que determinar el efecto sinergético de la

combinación. El proceso decisorio está orientado a identificar una mezcla de

combinaciones o alternativas individuales, factibles de realizar en función de la

disponibilidad de recursos, y que es la que produce los mejores resultados.

Las inversiones también, se clasifican en función del sector de la economía en que se

ejecutan, por lo tanto, habrán inversiones en empresas del sector privado y en el sector

público.

a) Inversiones en el sector privado: Son inversiones preparados y ejecutados por

personas naturales y jurídicas, con recursos privados y de crédito, se deben aceptar

cuando se esperan incrementos en los beneficios de las empresas (crean valor) y

por consiguiente se espera que aumente el patrimonio de los accionistas. No

obstante, en algunas ocasiones hay inversiones de carácter estratégico que no

generan los rendimientos mínimos exigidos por la empresa, pero que se aceptan

por completar el sistema de actividades escogido por la estrategia de la empresa.

b) Inversiones en el sector público: Son inversiones desarrolladas por entidades del

gobierno y con presupuestos de inversión pública. Generalmente apuntan al

mejoramiento de la salud, la educación, la vivienda, el transporte, la seguridad, etc.

Estas inversiones se realizan con base en los planes y programas de desarrollo

económico y social que se preparan en los diferentes niveles de la administración

pública

En las inversiones del sector público se deben valor aspectos cuantitativos y

cualitativos de beneficio económico y social, y su objetivo primordial es aumentar el

bienestar social.

1.6 PROCESO DE TOMA DE DECISIONES

La toma de decisiones es la selección de un curso de acción entre varias alternativas

planteadas en una organización y el núcleo de la planeación, también, es una actividad

cotidiana en las organizaciones, cada problema o situación se tiene que resolver, por lo

cual surgirá la necesidad de tomar una decisión. Por lo tanto, es recomendable

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disponer de un procedimiento sistémico para la solución de los problemas, que se

puede señalar de la siguiente manera:

1) Definir el problema: Se trata de identificar en forma clara el problema y realizar su

formulación de manera concreta y precisa, definiendo los objetivos buscados. La

importancia de éste punto es vital en el proceso de toma de decisiones, y es

recomendable dedicarle todo el tiempo que se necesite, para lograr una clara y

adecuada definición del problema, porque de lo contrario se corre el riesgo de dar

solución a un problema inexistente. Debe quedar claro que los problemas en la vida

cotidiana o real, están enunciados de manera muy general, por lo cual, es

indispensable identificarlos y definirlos exactamente, en relación con sus objetivos

como en los métodos de análisis que se seguirán.

La importancia de definir con claridad y precisión el problema radica en el hecho

conocido de que es preferible no resolver el problema, antes que resolver el

problema que no es, por eso, se dice que la definición del problema es la parte más

crítica de todo proceso de toma de decisiones, debido a que una equivocada

identificación traerá como consecuencia la toma de una decisión igualmente errada.

De una premisa equivocada siempre la conclusión será equivocada.

La importancia del proceso de identificación del problema, se traduce en el

pensamiento de Albert Einstein: “Si se me concediese sólo una hora para resolver

un problema del que dependiese mí propia vida, yo dedicaría 40 minutos a

estudiarlo, 15 minutos a revisarlo y 5 minutos a solucionarlo”.

En este sentido, se recomienda agotar los mejores esfuerzos y recursos de la

organización en la identificación de la problemática. Deben realizarse reuniones,

tormentas de ideas y trabajos de grupo para la consecución de una visión clara y

precisa de la situación que se deberá enfrentar.

2) Analizar el problema: Una vez se haya definido en forma concreta el problema, se

procede a discriminar todos los hechos que lo han originado o tienen relación con

él. Es indispensable que dentro del análisis, se realice una reseña de las decisiones

tomadas en el pasado, en relación con el problema definido; porque muchas veces

el problema surgido, tiene que ver con las decisiones que se han tomado con

anterioridad en el tiempo. También, es conveniente y necesario analizar las

restricciones que se presentan al momento de dar solución a los problemas, y ellas

pueden ser reales y ficticias.

Las restricciones reales son las que verdaderamente existen al momento de

formular el problema, pueden ser: tecnológicas, de recursos, de tiempo,

sociopolíticas, de seguridad, administrativas, etc. Estas restricciones, son

necesarias tenerlas en cuenta al momento de seleccionar la solución al problema.

Las restricciones ficticias son las que no están o no existen contenidas en el

problema que se ha definido; generalmente surgen de manera inconscientemente

por el criterio de la persona que está realizando el análisis, y pueden ser: hábitos,

temores, inhibiciones, timidez. Hay que tener en cuenta, que hay personas que se

restringen ficticiamente más que otras, afectando en forma negativa la creatividad y

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dificultad la solución de los problemas o los convierte en imposibles de

solucionarlos.

3) Generación de alternativas de soluciones: Una vez que el problema se ha

definido y analizado, se debe proceder a generar posibles soluciones y/o

alternativas para ser aplicadas. Un brainstorning (tormenta de ideas) , es un buen

comienzo para la generación de soluciones. En el proceso de generación de

soluciones, se recomienda reunir todas aquellas personas que tengan que ver o

conozcan el problema e inducirlas al planteamiento de soluciones, no sin antes

tener en cuenta los siguientes elementos:

a) Evitar resaltar las diferencias jerárquicas de los asistentes.

b) Buscar la participación del directivo más importante hasta el obrero más humilde

de la organización.

c) No subestimar ninguna solución sugerida.

d) No permitir burlas a las soluciones planteadas.

e) No hacer comentarios negativos sobre las soluciones sugeridas.

f) Motivar e inducir permanentemente a las personas para que sugieran

soluciones.

En caso que la decisión competa a una sola persona y ésta no tenga los medios

para consultar con otros, es indispensable que se presenten distintas alternativas

para que cada una sea evaluada individualmente.

4) Evaluación de alternativas: El proceso de generación de alternativas de

soluciones tendría poca importancia si las mismas no son analizadas y comparadas

entre sí, de manera tal que se pueda determinar cuál es la más conveniente.

Mediante la evaluación de las alternativas se conocerá, cuál de ellas es la más

rentable, cuál tendrá más posibilidad de realización, cuál apoyará los intereses

generales de la compañía, así como también cuál de las posibles soluciones será

más acorde con la visión y misión de la organización. Igualmente se considerarán

las estrategias de la organización a corto, mediano y largo plazo.

Cuando se estima la conveniencia de una solución debe tomarse en cuenta la

rentabilidad que produce, asociada al riesgo que conlleva. Adicionalmente, debe

considerarse que el beneficio económico a corto plazo puede quedar relegado en

aras de una estrategia superior de la empresa.

Es necesario que una vez se seleccione la alternativa que dará solución al

problema, se le comunique a las personas de la organización encargadas de dar la

aprobación final. De la presentación de la solución depende que se lleve a la

práctica, por ello es importante estar seguros de los beneficios de dicha solución y

llevar a cabo la sustentación con seguridad, demostrando clara y concretamente

cuales son las ventajas de la solución propuesta. Es conveniente presentar

soluciones a corto, mediano y largo plazo.

5) Implementar la solución: La selección de la decisión no hace finalizar el proceso

de toma de decisiones; por el contrario, una vez seleccionada la alternativa, se debe

buscar su implementación, teniendo en factores tales como tiempo, recursos

humanos, tecnológicos, financieros, etc. También es de suma importancia

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considerar la capacidad de entendimiento de la decisión por parte de la persona

responsable de ejecutarle, así como su grado de compromiso.

En muchas ocasiones una determinada decisión pasará por diferentes áreas de la

organización y probablemente el compromiso no sea el mismo en cada una de

ellas. Por otro lado, es probable que el entendimiento de la decisión no sea

compartido por igual, por lo cual se deberán tomar en cuenta estas consideraciones

al momento de implementar la decisión.

Implementar una decisión exige en muchos casos todo un proceso de planificación

y de distribución de recursos que garanticen su éxito. Una decisión podría fracasar

por no contar con los recursos adecuados o con el compromiso y entendimiento de

los miembros de la organización.

6) Evaluar los resultados de la decisión: A través de un análisis de los resultados

obtenidos por la puesta en práctica de una decisión tomada, se podrán tomar

medidas para asegurar la optimización de los resultados. Es así como mediante la

evaluación de éstos se pueden tomar las acciones necesarias para corregir

cualquier desviación en los resultados inicialmente planificados. Adicionalmente, se

puede descubrir la necesidad de incluir nuevos recursos en el proceso: humanos,

financiero o de otra clase. También, se puede llegar a la conclusión de que la

decisión tomada no fue la correcta y así adoptar las medidas necesarias para

enmendar esa equivocación.

1.7 ASPECTOS BASICOS DE UN ANALISIS DE INVERSIONES.

Para la correcta realización de un estudio de las matemáticas financieras, se requieren

básicamente analizar las siguientes etapas:

a) Análisis técnico

b) Análisis económico

c) Análisis financiero

d) Análisis de intangibles

e) Análisis del mercado

f) Análisis Administrativo

g) Análisis Social

h) Análisis sensorial

Análisis técnico: Se refiere a la factibilidad operacional del proyecto o alternativa, es

decir, se define la viabilidad técnica del proyecto. En este análisis, se definirá las

especificaciones técnicas de los insumos necesarios para ejecutar el proyecto en

relación con: tipo y cantidad de materia prima e insumos, nivel de calificación del

recurso humano requerido, la maquinaria y los equipos necesarios para el proyecto y

un programa de las inversiones iníciales y de reposición, así como también, los

calendarios de mantenimiento.

Análisis económico: Se refiere a la factibilidad económica de la alternativa o proyecto

(Si es rentable o no). Es importante, pues es la que al final permite decidir la

implantación del proyecto.

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Análisis financiero: Se refiere a la disponibilidad y origen de los fondos necesarios

para realizar el proyecto. En otras palabras, se refiere a la identificación de las fuentes

de financiación del proyecto internas y externas, permite adicionalmente establecer

criterios para el manejo de excedentes e identificar las necesidades de liquidez, para

construir y negociar el plan de financiamiento del proyecto.

Análisis de intangibles: Se refiere a considerar los efectos no cuantificables de un

proyecto: Aspectos como: imagen corporativa, opinión pública, nombre, factores

ecológicos y ambientales, leyes cambiantes, situación política, etc. El estudio de las

leyes, debe llevarse a cabo en las etapas iníciales de la formulación y preparación, ya

que un proyecto supremamente rentable, puede resultar no factible por una norma

legal. En análisis de los factores ecológicos y ambientales, es necesario determinar el

impacto del proyecto sobre el medio ambiente en el corto, mediano y largo plazo y el

efecto del entorno sobre el proyecto.

Análisis del mercado: En el cual se determinan ventas y clientes potenciales para los

bienes y servicios que van a producirse. Además, de estudiar la demanda, es necesario

tener en cuenta la oferta y precios, tanto de los productos como de los insumos de un

proyecto. En la demanda de los productos, se analiza el volumen presente y futuro y

las variables relevantes para su proyección como: población objetivo o segmento de

mercado, niveles de ingresos esperados, productos complementarios y sustitutos que

ya estén o que en el futuro entraran al mercado. Es importante tener en cuenta el

mercado local, regional, nacional y el internacional.

Análisis Administrativo: Es un diseño que muestra la estructura organizacional y

define la necesidades de personal del proyecto, además; genera la información sobre

las necesidades de infraestructura para el normal desarrollo de las actividades de las

diferentes áreas que conforman el proyecto como son: planeación, personal, finanzas,

cobranzas, etc. En este análisis, también se señala los equipos y dotación de insumos

requeridos para el adecuado funcionamiento administrativo.

Análisis Social: Determina la incidencia que el proyecto tiene en la comunidad y la

manera de evitar las incidencias negativas del proyecto. En concreto el análisis está

dirigido a identificar y caracterizar con precisión los diferentes grupos de la población

implicados por el proyecto, desde el punto de vista de los beneficios y los costos.

Análisis Sensorial: Trata de fijar la posición personal del empresario en aspectos

legales, éticos, morales y de gusto personal, con relación a la actividad en sí misma o a

las condiciones que el proyecto exige.

1.8 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Es el concepto más importante en las matemáticas financieras. El dinero, como

cualquier otro bien, tiene un valor intrínseco, es decir, su uso no es gratuito, hay que

pagar para usarlo. El dinero cambia de valor con el tiempo por el fenómeno de la

inflación y por el proceso de devaluación. El concepto del valor del dinero dio origen al

interés. Además, el concepto del valor del dinero en el tiempo, significa que sumas

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iguales de dinero no tendrán el mismo valor si se encuentran ubicadas en diferentes

tiempos, siempre y cuando la tasa de interés que las afecta sea diferente a cero

La inflación es el fenómeno económico que hace que el dinero todos los días pierda

poder adquisitivo o que se desvalorice. Por ejemplo, dentro de un año se recibirá los

mismo $ 1.000 pero con un poder de compra menor de bienes y servicios. Desde un

punto de vista más sencillo, con los $ 1.000 que se recibirá dentro de un año se

adquirirá una cantidad menor de bienes y servicios que la que se puede comprar hoy,

porque la inflación le ha quitado poder de compra al dinero.

1.9 INTERES

Cuando una persona utiliza un bien que no es de su propiedad; generalmente deba

pagar un dinero por el uso de ese bien; por ejemplo se paga un alquiler al habitar un

apartamento o vivienda que no es de nuestra propiedad. De la misma manera cuando

se pide prestado dinero se paga una renta por la utilización de eses dinero, En este

caso la renta recibe el nombre de interés o intereses.

En otras palabras se podría definir el interés, como la renta o los réditos que hay que

pagar por el uso del dinero prestado. También se puede decir que el interés es el

rendimiento que se tiene al invertir en forma productiva el dinero, el interés tiene como

símbolo I. En concreto, el interés se puede mirar desde dos puntos de vista.

ü Como costo de capital: cuando se refiere al interés que se paga por el uso del

dinero prestado.

ü Como rentabilidad o tasa de retorno: cuando se refiere al interés obtenido en una

inversión.

Usualmente el interés se mide por el incremento entre la suma original invertida o

tomada en préstamo (P) y el monto o valor final acumulado o pagado.

De lo anterior se desprende que si hacemos un préstamo o una inversión de un capital

de $P, después de un tiempo n se tendría una cantidad acumulada de $F, entonces se

puede representar el interés pagado u obtenido, mediante la expresión siguiente:

I = F – P (1.1)

Pero también:

I = Pin

(1.2)

Analizando la anterior fórmula, se establece que el interés es una función directa de

tres variables: El capital inicial (P), la tasa de interés (i) y el tiempo (n). Entre mayor sea

alguno de los tres, mayor serán los intereses.

Las razones a la existencia del interés se deben a:

ü El dueño del dinero (prestamista) al cederlo se descapitaliza perdiendo la

oportunidad de realizar otras inversiones atractivas.

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ü Cuando se presta el dinero se corre el riesgo de no recuperarlo o perderlo, por lo

tanto, el riesgo se toma si existe una compensación atractiva.

ü El dinero está sujeto a procesos inflacionarios y devaluatorios en cualquier

economía, implicando pérdida en el poder adquisitivo de compra.

ü Quien recibe el dinero en préstamo (prestatario) normalmente obtiene beneficios,

por lo cual, es lógico que el propietario del dinero, participe de esas utilidades.

Existen dos tipos de interés, simple y compuesto, los cuales se estudiarán

posteriormente.

Ejemplo 1.1

Se depositan en una institución financiera la suma de $ 1.200.000 al cabo de 8 meses

se tiene un acumulado de $ 200.000, calcular el valor de los intereses.

I= F -P= 1.400.000 - 1.200.000 = $ 200.000

La variación del dinero en $ 200.000 en los 8 meses, se llama valor del dinero en el

tiempo y su medida, son los intereses producidos.

1.10 TASA DE INTERES

La tasa de interés mide el valor de los intereses en porcentaje para un período de

tiempo determinado. Es el valor que se fija en la unidad de tiempo a cada cien

unidades monetarias ($100) que se invierten o se toman en calidad de préstamo, por

ejemplo, se dice.: 25% anual, 15% semestral, 9 % trimestral, 3% mensual.

Cuando se fija el 25% anual, significa que por cada cien pesos que se inviertan o se

prestan se generaran de intereses $ 25 cada año, si tasa de interés es 15% semestral,

entones por cada cien pesos se recibirán o se pagaran $ 15 cada seis meses, si la tasa

es 9% trimestral se recibirán o se pagaran $ 9 de manera trimestral, y si la tasa es del

3% mensual, se recibirán o se pagaran $ 3 cada mes.

La tasa de interés puede depender de la oferta monetaria, las necesidades, la inflación,

las políticas del gobierno, etc. Es un indicador muy importante en la economía de un

país, porque le coloca valor al dinero en el tiempo.

Matemáticamente la tasa de interés, se puede expresar como la relación que se da

entre lo que se recibe de interés (I) y la cantidad invertida o prestada, de la ecuación

(1.1), se obtiene:

I