Sistemas Númericos una Visión Moderna por Carlos Luque - muestra HTML

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SISTEMAS

NÚMERICOS

UNA VISIÓN MODERNA

23/08/2008

SISTEMAS NUMERICOS

JOSÉ DE JESÚS MAURY OTERO

II SEMESTRE.

SISTEMAS NÚMERICOS

CARLOS LUQUE

DOCENTE

UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA

PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMATICAS

BOGOTÁ

2008.

Este libro y su arduo trabajo esta dedicado a todas esas personas que aportan de una u otra forma para mi

formación profesional, humana y personal.

INTRODUCCIÓN

En la presente obra se muestra el trabajo realizado durante el periodo académico del

segundo semestre de 2008 en el programa de matemáticas en el área de sistemas

numéricos este texto muestra la teoría que se desarrollo en el aula de clases con un alto

contenido de investigación en otras fuentes entre las que se cuenta la Web.

al igual se presenta como objetivo el estudio de los sistemas numéricos partiendo de

preguntas problematizadoras para los números naturales desembocando en la teoría

desarrollada por Peano desde el punto de vista axiomático, se establecen las

relaciones entre conjuntos y el producto cartesiano desarrollado con cambios en los

conectivos lógicos que permiten su definición, las construcciones de la geometría

como una teoría fundamentada en teoremas como breve resumen tomado del libro de

los elementos de Euclides, donde muestra la característica fundamental con la q ue se

creo la geometría plana que hoy conocemos y su desconexión con la realidad dejando

claro entonces que las representaciones hechas sobre tales materias son solo de carácter

abstractivo.

Enseguida se muestran las construcciones de los racionales partiendo de los números

naturales y los enteros generándolos como familias de parejas de números enteros, se

verán sus propiedades y orden.

Luego continuamos con las cortaduras de Dedekin que permitirán dar formalización a

los números reales.

Capitulo aparte merece la construcción de los números reales a partir de la base

axiomática considerando como campo a un conjunto que cumple determinadas

propiedades.

Por ultimo se muestran los números complejos y sus propiedades más notorias.

CAPITULO I

¿QUÉ SIGNIFICA IGUAL?

“El sabio comienza por hacer lo que quiere enseñar y después enseña.”

Confucio.

¿QUÉ ES IGUAL?

VIDA Y OBRA DE APOLONIO DÍSCOLO

(Siglo II) (gr. ὁ δύσκολος, «el de mal genio»), autor de varios tratados que dotaron por primera vez a la gramática

griega de una base científica. Vivió en Alejandría en condiciones de extrema pobreza y escribió numerosas obras, de

las cuales solo se conservan cuatro, sobre los pronombres, las conjunciones, el adverbio y la sintaxis. Este Apolonio,

que se ganó el sobrenombre de dyskolos («difícil») por lo conciso y denso de sus explicaciones, fue el más

importante tratadista de sintaxis en la tradición filológica antigua. Solo la Tékhnē grammatiké (Τέχνη Γραμματική)

de Dionisio Tracio (siglo I a. C.) rivalizó en prestigio con esta Sintaxis. Pero son dos obras de distinto nivel y estilo.

La obra de Apolonio es un tratado sintáctico de estudio amplio, crítico, y bastante personal, sobre los conceptos

fundamentales de la construcción gramatical. Qué es la oración, sus partes, las funciones de los pronombres, los

significados de las formas verbales, y otros temas sintácticos, son estudiados aquí a fondo, con muchos ejemplos, en

buena medida homéricos, de acuerdo con la labor filólogica habitual en los círculos alejandrinos. Apolonio tiene

atisbos de sorprendente modernidad, y recoge y critica la tradición anterior.

DEFINICIONES DE LA NOCIÓN DE IGUALDAD

La noción de igualdad entre objetos o entes naturales palpables o reales es totalmente

imposible de determinar desde el punto de vista que lo conforma, es decir, las cosas ,

la naturaleza, no se puede desligar de las características a su alrededor, el tiempo las

condiciones climáticas y en esencia de ser. Lo que ya no es. Por ello es necesario

desvincular los principios naturales de los entes abstractos y formular entonces

posibilidades en dimensiones fuera de la realidad es decir, en abstracto, en la

dimensión del pensamiento, al que pertenecen los números, las líneas, los ángulos, etc.

En otras palabras dar forma a lo que no podemos palpar y condicionar sus

características y comportamientos mediante reglas o leyes que deban cumplir

independientemente de las características que los rodeen, ya bien lo describía Euclides

en el capitulo II de este texto cuando formula leyes sobre los objetos que define y que

condiciona a estar dentro del pensamiento, es así como podemos formular entonces que

las representaciones que hacemos sobre números o entes geométricos no son en esencia

una representación real de lo que nos estamos refiriendo, puesto que cualquier

representación estará ligada indudablemente a nuestra naturaleza material.

Las definiciones de igualdad representan objetos emergentes de los sistemas de

prácticas asociados a los distintos contextos de uso, en ningún caso son el marco de

cierre de los significados atribuidos a la noción de igualdad.

No existe, por lo tanto, una única noción de igualdad; esto es, dados dos números reales

a y b, no hay una sola forma de responder a la pregunta ¿representan a y b el mismo

numero?

Contestar esta pregunta supone, necesariamente, explicitar un dominio matemático de

trabajo; a saber: aritmética, algebra, teoría de funciones, R como cuerpo ordenado, R

como espacio métrico, R como espacio topológico, análisis y calculo numérico. De esta

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forma, según el campo de aplicación, la igualdad entre dos números (a = b) queda

determinada por unas relaciones especificas a dicho dominio

La respuesta a esta pregunta se ve vinculada entonces al campo donde estemos

interesados en desempeñarnos o en buscar una solución particular a un problema

planteado, así por ejemplo las definiciones que se muestran a continuación son

exactamente una muestra expresa de tal característica, así por ejemplo:

Podemos definir que dos números reales son iguales si cumplen la siguiente

condición:

a=b sii {a} = {b}, es decir si representan la misma clase.

Pero la igualdad entre números reales también se puede obtener a través de una relación

de orden, así:

a=b sii ab y ba

En general cada regla en cada área colocara la definición propicia para considerar que

dos cosas sean iguales.

De manera semejante podemos elegir criterios como los utilizados en geometría como

la congruencia para referirse cuando dos elementos de una misma clase comparten una

misma característica.

Actividades

Imagen tomada

del

libro:

Actividades

matemáticas

para

el

desarrollo de

procesos lógicos:

clasificar, medir,

invertir.

De acuerdo al

dibujo responda:

1 cuantos puntos hay dentro del rectángulo fuera del circulo y del triangulo

Rta: 2

2 dentro del triangulo fuera del circulo del cuadrado y del rectángulo

Rta: 2

3 comunes al cuadrado y al rectángulo pero fuera del circulo y del triangulo

Rta: 3

4 dentro del cuadrado, fuera del triangulo del circulo y del rectángulo

Rta: 21

5 comunes al triangulo y al circulo pero fuera del cuadrado y del rectángulo

Rta: 1

6 comunes al triangulo y al rectángulo pero fuera del circulo

Rta 6

7 dentro del circulo fuera del triangulo y del cuadrado

Rta: 11

8 comunes al circulo, al cuadrado, al triangulo y al rectángulo

Rta: 5

9 comunes al cuadrado y al circulo pero fuera del triangulo

Rta: 3

En la constitución de Colombia de 1991 una parte del artículo 13 enuncia:

“Todas las personas nacen libres e iguales ante la ley, recibirán la misma protección

y trato de las autoridades y gozaran de los mismos derechos, libertades y

oportunidades sin ninguna discriminación…” ¿que significa esta afirmación?

En este texto se puede observar claramente el cuantificador universal “Todas”

haciendo alusión sobre las personas nacidas o que se encuentren en el territorio

nacional, ligados a la ley mediante una relación de igualdad como entes jurídicos,

más no como seres naturales, ya que se sobreentenderán las diferencias de orden

religioso político o filosófico, sin embargo, se determina que todos tendrán el mismo

trato independientemente de sus condiciones y se ajustaran a la ley y se les ofrecerán

las mismas garantías por igual.

CAPITULO II

NÚMEROS NATURALES

LA ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS

NATURALES

VIDA Y OBRA DE PEANO, GIUSEPPE.

(Cuneo, actual Italia, 1858-Turín, 1932) Matemático italiano. Estudió en la Universidad de Turín, ciudad a la que

su familia se había trasladado en 1870. Sus aportaciones más recordadas son las referentes a la axiomática de las

matemáticas. A ese respecto cabe destacar su sus axiomas sobre el conjunto de los números enteros naturales o

sobre la estructura de un espacio vectorial, así como la definición del concepto de aplicación lineal. Interesado en el

uso de la lógica más como medio de exposición de la matemática que como su fundamento (al estilo de Frege o

Russell), desarrolló una sintaxis muchos de cuyos símbolos (como los de pertenencia, unión o intersección) son hoy

día empleados de forma universal. En su constante empeño de expulsar la ambigüedad del ámbito de las definiciones

y los teoremas matemáticos, tuvo por costumbre denunciar las incorrecciones presentes en la obra tanto de sus

predecesores como de sus contemporáneos; se convirtió así en un especialista del contraejemplo, el más famoso de

los cuales fue la redefinición del concepto de curva anteriormente propuesto por Camille Jordán

¿QUÉ ES UN NÚMERO NATURAL?

La respuesta dada a esta pregunta por el matemático Giuseppe Peano fue sin lugar a

dudas algo fuera de lo común, en realidad no dio ninguna respuesta lo que realizo fue

un análisis de cómo los números naturales se relacionan entre sí, estableciendo en

primera medida las reglas con las que contaría y posteriormente definiendo las

operaciones posibles entre tales entes. A tal formulación es lo que denominamos

axiomática.

En las presentaciones axiomáticas se parte de unos términos no definidos, se enuncian

unas relaciones entre ellos, que aceptamos como ciertas (los axiomas), estos no tienen

que ser evidentes o universalmente aceptados; se presume una forma correcta de

razonar, usualmente la lógica bivalente clásica, y con esto se deducen otras afirmaciones

que llamamos teoremas. Los teoremas son ciertos en la medida de que los axiomas lo

sean y que los razonamientos sean correctos. La axiomática no se ocupa de explicar la

naturaleza de los objetos matemáticos que forman parte de la teoría, sino las

propiedades y las relaciones entre ellos.

Así el presente capitulo pretende mostrar de forma concisa tal relación entre los

números naturales sin tener en cuenta su naturaleza solo demostrando sus propiedades

sustentados en los axiomas de Peano, partiendo de las definiciones de suma y producto

entre números naturales y colocando como regla de oro no violentar ninguno de los

axiomas, a menos que en la práctica se evidencien contradicciones lógicamente

aceptables, como sucedió con la teoría de conjuntos en sus inicios con las denominadas

paradojas de Russell.

AXIOMAS DE PEANO

• 0∈N

nN entonces n+N

• Para todo nN, n+≠ 0

n+=n entonces n=m

• Si A⊂N y

0∈N,

n∈A implica n+∈A

Entonces A=N.

DEFINICIÓN

Dados x, y∈n, definimos la adición de x+y por:

x + 0 = x

x + y+=(x+y)+

TEOREMA 1.

x ≠ y entonces x+ ≠ y+.

Demostración.

Supongamos que x+ = y+ , entonces por el axioma 4 se tendría que x= y, lo cual contradice

la hipótesis de que x = y, por tanto el teorema queda demostrado.

TEOREMA 2.

x+ ≠ x.

Demostración.

Sea M = { kN / k+ ≠ k}.

Por los axiomas 1 y 3 se tiene que 0+ ≠0; por consiguiente, 0

Pertenece a M.

Si n pertenece a M, entonces n+ ≠ n, y aplicando el teorema 1 se tiene que ( n+)+ ≠ n+, por

lo que n+ pertenece a M.

Por el axioma 5, M contiene todos los números naturales, es decir, que tenemos que

para todo n, n+ ≠ n.

TEOREMA 3.

Si k 0 existe un único u tal que k = u+ .

Demostración .

Sea M = {0} U { kN /k0 y existe u tal que k=u+}

0 pertenece a M.

Supongamos que se cumple para k, veamos que se tiene para k+.

Dado que k ∈ M, tomando k=u se tiene que k+=u+ por tanto k+∈M.

Por el axioma 5, M=N, luego para cada n0, existe un u tal que n= u+.

TEOREMA 5

LEY ASOCIATIVA DE LA ADICIÓN

Para todo x, yN, ( x + y) + z = x + ( y + z).

Demostración .

Fijemos x y y, y sea: M = { zN / (x+y)+z = x+ (y+z)}

( x+ y)+0 = ( x+ y) = x+ y = x+ ( y+0), por tanto 0∈ M.

Sea z ∈ M, entonces ( x + y) + z = x + ( y + z)

Veamos que z+ ∈M, en efecto

( x + y) + z+ = (( x + y) + z)+ = ( x + ( y + z))+ = x + ( y + z)+

= x + ( y + z+) ,

Por lo cual z+∈M. por tanto la propiedad es válida para todo z natural.

TEOREMA 6

Para todo nN, 0+ n= n

Demostración.

Procedamos por inducción sobre n. Sea M= { kN / 0+ k = k}.

0∈ M, porque 0+0=0 debido a la definición de suma.

Supongamos k∈ M entonces 0+ k = k, veamos que k+ ∈M, en efecto:

0+ k+ = (0+ k) + = k+. Por tanto k+ ∈M, así M=N. Luego esta afirmación se cumple en

todo número natural.

TEOREMA 7

Para todo n, k N, (n + k)+ = n+ + k

Demostración.

Fijemos n e induzcamos sobre k.

Sea A= { kN/ ( n + k)+ = n+ + k, para todo n∈ N}

0∈ A, pues 0∈ N y ( k+0)+ = k+ = k+ + 0 .

Supongamos k∈ A, entonces (n + k)+ = n+ + k.

Veamos que k+∈A

(n + k+)+ = ((n + k)+)+ = (n+ + k)+ = n+ + k+. Así k+∈ A, luego A=N.

TEOREMA 8

LEY CONMUTATIVA DE LA ADICIÓN.

Para todo x, yN, x + y = y + x.

Demostración.

Fijemos y, y sea M = { kN / k+y=y+k}

Tenemos que y+0 = y, por la definición de suma y por el teorema 5, 0 + y = y, luego

0+ y = y+0, por lo que 0 ∈M.

Supongamos k ∈M, entonces k + y = y + k.

Veamos que k+ + y=y + k+, En efecto:

k+ + y= (k+y)+ = (y+k)+=y + k+ por tanto k M. por tanto la afirmación se cumple

para todo numero natural.

TEOREMA 9.

Para todo x, yN, con xy se tiene y x + y.

Demostración.

Fijemos x, y sea M= { y N / y x+y para todo yN}

Para todo xN, con x 0, se tiene que 0 x=x+0, luego 0∈ M.

Si y ∈M, entonces y x + y de donde:

y+ ≠ ( x + y)+ implica y+ ≠ x + y+ , así y+ ∈M, así M =N y por consiguiente se cumple para todo x, y.

TEOREMA 10.

Si y ≠ z entonces x + y ≠ x + z.

Demostración

Consideremos y, z fijos tal que y ≠ z, y sea M = {k∈N/ k+ y ≠ k+z}.

Por nuestra consideración, y ≠ z tenemos y = 0+ y ≠ 0+ z =z, por lo que 0∈ M.

Supongamos que k∈ M, entonces k + y ≠ k + z, de donde

( k + y)+ ( k + z)+, o sea, k+ + y ≠ k+ + z, luego k+∈ M. por el axioma 5 entonces tenemos que M=N. luego se cumple para todo k natural.

TEOREMA 11.

Dados números naturales x y y sólo sucede uno de los siguientes casos:

1. x = y.

2. Existe un u≠0 tal que x = y + u

3. Existe un v≠0 tal que y = x + v.

Demostración .

“ A) Por el teorema 9, los casos 1) y 2) son incompatibles. Similarmente, 1) y 3) son

incompatibles. La incompatibilidad de 2) y 3) también se sigue del teorema 9; por otra

parte, deberíamos tener que:

x = y + u = ( x + v) + u = x + ( v + u) = ( v + u) + x.

Por consiguiente podemos tener a lo sumo uno de los casos 1), 2)

y 3).”

Ahora demostremos las tres propiedades.

Sea x fijo, y sea

M = {kN/ x=k para todo x N } U

{ kN/ existe u≠0 tal que x=k+ u para todo x N} U

{ kN/ existe v≠0 tal que k=x+v para todo x N}

Para k = 0, tendríamos x= 0 o por el teorema 3 si x ≠ 0

x = u+, para algún u N, así x=0+ u+.

Por tanto 0∈ M.

Supongamos que k∈ M. entonces x = k o bien existe u≠0 tal que x=k+u o existe v≠0

tal que k =x+v.

Veamos que k+∈ M, en efecto :

k+ = k + 0+ = x + 0+ ya que x=k, así k+cumple la parte 3 del conjunto M.

O si x≠k, entonces x = k + u para algún u, de donde si u = 0+, entonces x = y + 0+ = y+, así y+ cumple la parte 1 del conjunto.

Pero si u≠0+, entonces por el teorema 3, u = w+ = 0+ + w para algún w, luego:

x = k+ (0+ + w) = ( k+ 0+)+ w = k+ + w de donde se cumpliría la parte dos del conjunto.

k= x + v por lo cual k+ = ( x + v)+ = x + v+ luego en cualquier caso, k+ ∈ M.

“Por consiguiente siempre tenemos uno de los casos 1), 2) y 3)”

Así tenemos que M=N, luego la propiedad es válida para todo número natural.

ORDEN EN LOS NÚMEROS NATURALES

DEFINICIÓN 2

Si x = y + u para algún u≠0 entonces x > y. (> léase “es mayor

que”)

DEFINICIÓN 3

Si y = x + v para algún v ≠0 entonces x < y. (< léase “es menor

que” )”

TEOREMA 12

Para cualesquiera x, y dados, se tiene exactamente uno de los casos.

x = y, x > y, x < y

Demostración.

Por el teorema 11, dados x, y N se tienen solo tres posibilidades:

x=y, x= y+u para algún u≠0 o y=x+v para algún v≠0. así de la definición 2 y 3

anteriores tenemos la tesis de la proposición .

TEOREMA 13

Para cualesquiera x, y dados, si x > y entonces y < x.

Demostración.

Ambas afirmaciones significan que x = y + u para algún u≠0.

TEOREMA 14

Si x < y entonces y > x.

Demostración.

Ambas afirmaciones significan que y = x + v para algún v≠0.

DEFINICIÓN 4

x y significa x > y o x = y. (léase “mayor o igual que”)

DEFINICIÓN 5

x y significa x < y o x = y. (léase “mayor o igual que”).

TEOREMA 15

Para cualesquiera x, y dados si x y entonces y x.

Demostración

Dados x, y N, tal que xy implica por la definición que x>y o x=y entonces por el

teorema 13, y<x o x=y luego por la definición 5 se tiene yx

TEOREMA 16

Si x y entonces y x.

Demostración

Dados x, y N, tal que xy implica por la definición que x<y o x=y entonces por el

teorema 14, y>x o x=y luego por la definición 4 se tiene yx

TEOREMA 17

TRANSITIVIDAD DEL ORDEN

Para cualesquiera x, y y z dados si x < y y y < z, entonces x < z.

Demostración.

Dados x,y,z N, tales que x<y y y<z implica por la definición que existen t,sN, t≠0 y s≠0 tales que y=x+t y z=y+w.

Luego :

z=(x+t)+w de donde por la propiedad asociativa de la suma tenemos:

z=x+ (t+w) tomando 0≠t+w=kN tenemos por la definición de “menor qué” z=x+k,

así x<z.

TEOREMA 18

Si x y, y < z o x < y, y z, entonces x < z.

Demostración.

Sean x, y tales que:

Caso 1

xy y y<z implica por la definición 5 x<y o x=y y y<z luego por el teorema 17 x<y y y<z implica que x<z.

Caso 2

x< y y yz, implica por la definición 4 x<y y y<z o y=z luego por el teorema 17 x<y y y<z implica x<z.

TEOREMA 19

Si x y, y z, entonces x z.

Demostración.

xy y y z implica por la definición 5 x<y o x=y y y<z o y=z luego por el teorema 17

x<z o x=y=z.

TEOREMA 20

Dados x, y N, si y≠0 entonces x + y > x.

Demostración.

Dado que para todo x, y N tal que y≠0, x + y = x + y tenemos por la definición de

“mayor que” tomando a “y” como el número existencial que x+y>x.

TEOREMA 21

Si x > y, o x < y, entonces x + z > y + z, o x + z < y + z, respectivamente.

Demostración

*Si x > y, entonces x = y + u, para algún u N con u≠0 por lo tanto

x + z = ( y + u) + z= ( u + y) + z= u + ( y + z)= ( y + z) + u, luego x + z > y + z.

* Si x < y, entonces y > x, de donde, por lo anterior,

y + z > x + z, así x + z < y + z.

TEOREMA 22

Si x + z > y + z, o x + z < y + z, entonces x > y o x < y, respectivamente.

Demostración.

“Se sigue del teorema 21, puesto que los tres casos son mutuamente exclusivos y

exhaustivos con todas las posibilidades.”

TEOREMA 23

Si x > y, z > u, entonces x + z > y + u.

Demostración.

Por el teorema 21, tenemos que x + z > y + z y y + z = z + y > u + y = y + u de

donde x + z > y + u.

TEOREMA 24

Si x y, z > u, o x > y, z u, entonces x + z > y + u.

Demostración.

“Se sigue del teorema 22 si en la hipótesis hay una igualdad de signos, si no aplicamos

el teorema 23.”

TEOREMA 25

Si x y, z u, entonces x + z y + u.

Demostración.

Es obvio si en la hipótesis hay dos igualdades de signos, si no aplicamos el teorema 24.

TEOREMA 26

Para todo x N, x ≥ 0.

Demostración.

Para x N, x = 0 o x = u+ = u + + 0 > 0 por tanto x 0

TEOREMA 27

Si y > x entonces y x + 0+.

Demostración.

y = x + u, u ≥ 0+, de donde y x + 0+.

TEOREMA 28

Si y < x + 0+ entonces y x.

Demostración.

“Supongamos que y > x, entonces por el teorema 27, y x +0+.”

TEOREMA 29

PRINCIPIO DE BUEN ORDEN

Todo subconjunto no vació de números naturales posee elemento mínimo.

Lema 1

Para todo sN, S+>s

Demostración

Dado que 0+≠0 (ya que si 0=0+ se contra diría al axioma 4) y s+=(s+0)+=s+0+

entonces s+>s.

Demostración

Sea ∅≠ RN, y sea M = { x N / x y para todo y de R}

Dado que 0≤x para todo xN, entonces en particular 0≤ 0, así 0 M.

Como R≠∅ por hipótesis, tenemos por el axioma 5 que M≠N, ya que si s*R entonces

dado que x≤ x para todo x N entonces en particular s*≤s * para todo s*R

Luego s*+ M ya que si perteneciera tendríamos como caso particular s*+≤s* lo cual

contradice el lema anterior.

Entonces por el axioma 5 existe m M tal que m+M por tanto necesariamente m R

ya que si no es así tendríamos m R implica m<s para todo s R por lo tanto m+≤s

para todo sR luego entonces m+M lo cual es absurdo por la escogencia de m, así m≤s

para todo sR por tanto m=mín R

DEFINICIÓN

Dados n, k N, definimos

n0=0

n k+=n k+n

TEOREMA 30

Para todo x N , 0x=0.

Demostración.

Sea M= { x N /0x=0} . En efecto se puede ver que 00=0, así 0M.

Supongamos que se cumple para x entonces 0x=0 veamos para x+:

0x+=0x+0=0+0 así x+M. por el axioma 5, M=N, luego se cumple para todo número

natural.

TEOREMA 31

LEY CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

Para todo x, y N, xy = yx

Demostración

Fijemos y, y sea M = { x N / xy=yx}

Tenemos y0 =0=0 y así 0∈M. Si x∈M, entonces xy = yx, de donde xy + y = yx + y =

yx+ tenemos que x+y = xy + y de donde x+y = yx+ y en consecuencia x+ ∈M Luego

la afirmación es verdadera para todo x.

TEOREMA 32

LEY DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN CON RESPECTO A LA

SUMA

Para todo x, y N, x( y + z) = xy + xz.

Demostración

Fijemos x y y, y sea M ={ z N / x (y+z)=xy+xz para todo x, yN}

x( y +0) = xy = xy + 0 = xy + x0; por lo que 0 ∈M .

Si z pertenece a M, entonces x( y + z) = xy + xz

Luego x( y + z+) = x(( y + z)+) = x( y + z) + x = xy + ( xz + x) = xy + xz+

Así que z+ ∈ M . Por consiguiente, M=N

TEOREMA 33

LEY ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

( xy) z = x( yz)

Demostración

Fijamos x y y, y sea M ={ z N /x(y+z)=xy+xz para todo x, yN }

( xy) 0 = 0 = x( y 0); por lo que 0∈M.

Supongamos que z∈M. Entonces ( xy) z = x( yz) y por consiguiente usando el

teorema 32, ( xy) z+ = ( xy) z + xy = x( yz) + xy = x( yz+y) = x( yz+).

Así que z+∈ M y por lo tanto, M=N

TEOREMA 34

Si x > y o x = y o x < y, entonces xz > yz, xz = yz o xz < yz, respectivamente.

Demostración

1) Si x > y entonces x = y + u, para algún u ≠0 y xz = ( y + u) z = y z + uz > yz.

2) Si x = y entonces claramente xz = yz.

3) Si x < y entonces y > x, y por 1), yz > xz, xz < yz.

TEOREMA 35

Si xz > yz, xz = yz, o xz < yz, x > y, x = y, o x < y, entonces x > y, o x = y, o x < y respectivamente.

Demostración

Se sigue del teorema 34, puesto que los tres casos, son mutuamente exclusivos y agotan

todas las posibilidades.

TEOREMA 36

Si x > y, z > u, entonces xz > yu.

Demostración

Por el teorema 34, tenemos xz > yz y yz = zy > uy = yu, luego xz > yu.

TEOREMA 37

Si x y, z > u o x > y, z u, entonces xz > yu.

Demostración

“Se sigue del teorema 34 si en la hipótesis hay una igualdad de signos; si no, se sigue

del teorema 36.”

TEOREMA 38

Si x y, z u entonces xz yu.

Demostración

Si x≥y entonces x>y o x=y luego existe w≠0 tal que x=y+w y z≥u implica la existencia

de v≠0 tal que z=u+v entonces

xz=(y+w)(u+v)=(y+w)u+(y+w)v=yu+uw+yv+wv como k= uw+yv+wv≥0 entonces se

sigue que

xz=yu+k entonces xz≥yu.

CAPITULO III

LOGICA

Probamos por medio de la lógica, pero descubrimos por medio de la intuición.

HENRI POINCARÉ

LOGICA

HISTORIA

La lógica modal es tan antigua como la Lógica de Aristóteles y tuvo gran desarrollo durante la Edad Media. La

lógica modal contemporánea surge a principios del siglo XX como una reacción a la lógica clásica que maduró en

las obras de Gottlob Frege (Conceptografía) por un lado, y Russell y Withehead (Principia Mathematica) por el otro. Los patrones de razonamiento válidos, aquellos que indican una relación de consecuencia lógica entre un conjunto de enunciados –premisas y otro enunciado –conclusión en un argumento, están en parte determinados por

cuáles sean las constantes lógicas.

Dentro de las disciplinas científicas en cuya denominación aparece la palabra lógica, la lógica matemática se

caracteriza, sobre todo, por dos aspectos. En primer lugar, porque forma parte de las matemáticas, esto es, sus

métodos en la definición de conceptos y en la obtención de resultados son típicamente matemáticos. En segundo

lugar, porque sus objetivos atañen preferentemente a las cuestiones propias de los fundamentos de las matemáticas,

aunque su campo de aplicación, como en general el de las matemáticas, sean naturalmente más amplio y alcance

desde las ciencias naturales y las disciplina técnicas, pasado por la filosofía, hasta la lingüística y el derecho. Por

ello se comprende que la lógica matemática comenzara a desarrollarse tan tarde, a comienzos del siglo XX.

ORIGENES DE LA LOGICA MATEMATICA

La lógica matemáticas, todavía joven en el sentido anterior, tuvo sin embargo

abundantes precursores. Resultan habitual incluir, en las exposiciones sobre el

desarrollo histórico de la lógica matemática la lógica formal antigua y medieval, así

como los pioneros pero infructuosos – esfuerzos de Leibniz por obtener un cálculo

lógico universal; aunque evidentemente, todos estos precursores solo han tenido una

influencia muy pequeña en le desarrollo de lógica moderna : sus conceptos y

resultados- frecuentemente solo conjeturas ha sido adaptadas a conceptos actuales por

algunos lógicos interesados en los aspectos históricos solo recientemente y no sin pocas

dificultades. En la lógica tradicional se puede apreciar una distinción entre lógica

proposicional y lógica formal que en la lógica moderna no representa apenas ningún

papel. Objetivo de la lógica formal era el establecimiento y justificación de las reglas de

demostración o inferencia de tipo sintáctico admisible o fundadas objetos de la lógica

proposicional el descubrimiento de tautologías, es decir, de proporciones que fueran

siempre verdaderas a partir estructura gramatical.

LOGICA

La lógica se constituye prácticamente como disciplina autónoma, a partir de Aristóteles,

quien la instauró como ciencia, elevándola al grado de saber supremo.

Tal grado fue alcanzado debido a la importancia que se la atribuyó como método, como

herramienta indispensable en el manejo de los procesos mentales. De ahí que se diga

que el objeto sobre el cual trabaja la lógica, es el pensamiento, sus formas, es decir la

manera como la mente consigna y ordena los datos provenientes de la naturaleza.

Posteriormente, dichos datos serán expresados de acuerdo con las reglas o formas

asignadas por la disciplina en mención.

El pensamiento:

Es el proceso mediante el cual, el hombre capta la realidad, partiendo de sus sentidos,

hasta obtener una percepción clara de los fenómenos al conformar una imagen de estos.

La imagen se crea a partir del ordenamiento de las sensaciones al captar la realidad. Este

proceso se puede denominar el despertar del pensamiento. De aquí en adelante se

relacionarán las imagines, conformando las primeras ideas de las cosas o fenómenos.

Factores del proceso de pensar:

a. Un sujeto pensante que produce el pensamiento.

b. Un objeto al que se refiere el pensamiento y que determina su contenido.

c. La forma como es expresado el pensamiento.

Lógica formal y lógica material:

En el pensamiento es posible distinguir los contenidos materiales y los contenidos

formales. Los primeros son constituidos por los conceptos: montaña, casa, carro, árbol.

Los segundos, hacen referencia a la forma como aquellos conceptos se relacionan entre

sí: A es parte de B; A es idéntico a B; C = (A U B )

Cuando el objeto de estudio son los contenidos materiales del pensamiento, tenemos la

lógica material. Cuando se estudian los contenidos formales, tenemos la lógica formal.

¿Qué es una Proposición?

Es una expresión con sentido completo de la cual se puede decir que es verdadera o

falsa.

a.Bivalente: cuando una proposición tiene dos valores uno falso y uno verdadero.

b.Plurivalente: cuando tiene más de dos valores, verdadero, falso, probable.

c.No analizada: donde la totalidad de la proposición se considera una variable.

d.Analizada: Cuando nos metemos en la proposición para encontrar constantes y

variables.

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Clases de Proposiciones:

A.Proposición Atómica: aquella que carece totalmente de conectivas. Es una variable.

B. Proposición molecular: aquella que por lo menos tiene una conectiva.

Variable: Cualquier simple afirmación. Ej. El día es bonito.

Qué es Metalógica?

Es un lenguaje que hablamos para hablar otro lenguaje, en este caso del cálculo.

a.Sintaxis lógica: nos dice cuáles son las reglas que hay que seguir para la combinación

de

los

signos

tengan

sentido.

b.Semántica lógica: nos dice qué es lo que significan los signos del cálculo lógico.

c.Pragmática lógica: relación entre los signos y aquel que lo usa.

Hay ciertas expresiones que quedan por fuera del campo de la lógica. Ej. Ay!, Bah!,

Oh!.

Las exclamaciones, las preguntas y las expresiones sin sentido.

Tablas de verdad sobre proposiciones lógicas

1. Ley de desprendimiento, regla de separación o modus ponendo ponens

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2. Reglas de simplificación

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3. Reglas de adición ó agregación

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4. Casos

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5. Modus tollendo ponens

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6. leyes de absurdo

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7.

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8.

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9. Regla de la doble negación

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10. ley de la contra positiva

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11. Leyes de Morgan

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12. Leyes Conmutativas

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3. Leyes asociativas

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14. Leyes distributivas

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